A sequência de Fibonacci é construída escolhendo-se dois números naturais, e o termo seguinte é a soma dos dois anteriores, isto é, uma sequência \left(F_{n}\right)_{n \geq 1} com lei de formação F_{i+2}=F_{i}+F_{i+1}. Assim, a sequência mais conhecida é:
1,1,2,3,5,8,13,21,34, \cdots
Podemos transformar essa lei de formação de dois passos numa lei de formação vetorial de um passo, como segue:
(a) Denotando o maior e o menor autovalor da matriz \left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 1 & 1\end{array}\right) respectivamente por \varphi e \psi, encontrando esses autovalores, mostre que \psi=-\frac{1}{\varphi}. O número \varphi é chamado número de ouro.
(b) Expresse a decomposição \left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 1 & 1\end{array}\right)=P\left(\begin{array}{ll}\varphi & 0 \\\\ 0 & \psi\end{array}\right) P^{-1}, onde P é uma matriz invertível.
(c) Mostre que, para todo k \in \mathbb{N},\binom{F_{k+1}}{F_{k+2}}=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 1 & 1\end{array}\right)^{k}\binom{F_{1}}{F_{2}}.
(d) Conclua que, para todo k \in \mathbb{N}, tem-se \binom{F_{k+1}}{F_{k+2}}=P\left(\begin{array}{cc}\varphi^{k} & 0 \\\\ 0 & \psi^{k}\end{array}\right) P^{-1}\binom{F_{1}}{F_{2}}.
Passo 1
O enunciado apresenta a sequência de Fibonacci definida por
F_{i+2}=F_{i}+F_{i+1},
e mostra que isso se escreve em forma vetorial como
\binom{F_{i+1}}{F_{i+2}} = A \binom{F_{i}}{F_{i+1}}, \quad A=\begin{pmatrix}0&1\\\ 1&1\end{pmatrix}.
O objetivo é (a) encontrar os autovalores \varphi,\psi de A e mostrar \psi=-1/\varphi, (b) diagonalizar A como A=P\operatorname{diag}(\varphi,\psi)P^{-1}, (c) provar que \binom{F_{k+1}}{F_{k+2}}=A^k\binom{F_1}{F_2}, e (d) combinar isso com a diagonalização para obter \binom{F_{k+1}}{F_{k+2}}=P\operatorname{diag}(\varphi^k,\psi^k)P^{-1}\binom{F_1}{F_2}.
Passo 2
Calcule o polinômio característico de A resolvendo