A sequência de Fibonacci é construída escolhendo-se dois números naturais, e o termo seguinte é a soma dos dois anteriores, isto é, uma sequência \left(F_{n}\right)_{n \geq 1} com lei de formação F_{i+2}=F_{i}+F_{i+1}. Assim, a sequência mais conhecida é:
1,1,2,3,5,8,13,21,34, \cdots
Podemos transformar essa lei de formação de dois passos numa lei de formação vetorial de um passo, como segue:
\binom{F_{i+1}}{F_{i+2}}=\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\\\ 1 & 1 \end{array}\right)\binom{F_{i}}{F_{i+1}}
(a) Denotando o maior e o menor autovalor da matriz \left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 1 & 1\end{array}\right) respectivamente por \varphi e \psi, encontrando esses autovalores, mostre que \psi=-\frac{1}{\varphi}. O número \varphi é chamado número de ouro.
(b) Expresse a decomposição \left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 1 & 1\end{array}\right)=P\left(\begin{array}{ll}\varphi & 0 \\\\ 0 & \psi\end{array}\right) P^{-1}, onde P é uma matriz invertível.
(c) Mostre que, para todo k \in \mathbb{N},\binom{F_{k+1}}{F_{k+2}}=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 1 & 1\end{array}\right)^{k}\binom{F_{1}}{F_{2}}.
(d) Conclua que, para todo k \in \mathbb{N}, tem-se \binom{F_{k+1}}{F_{k+2}}=P\left(\begin{array}{cc}\varphi^{k} & 0 \\\\ 0 & \psi^{k}\end{array}\right) P^{-1}\binom{F_{1}}{F_{2}}.

Passo 1

O enunciado apresenta a sequência de Fibonacci definida por
F_{i+2}=F_{i}+F_{i+1},
e mostra que isso se escreve em forma vetorial como
\binom{F_{i+1}}{F_{i+2}} = A \binom{F_{i}}{F_{i+1}}, \quad A=\begin{pmatrix}0&1\\\ 1&1\end{pmatrix}.
O objetivo é (a) encontrar os autovalores \varphi,\psi de A e mostrar \psi=-1/\varphi, (b) diagonalizar A como A=P\operatorname{diag}(\varphi,\psi)P^{-1}, (c) provar que
\binom{F_{k+1}}{F_{k+2}}=A^k\binom{F_1}{F_2}, e (d) combinar isso com a diagonalização para obter
\binom{F_{k+1}}{F_{k+2}}=P\operatorname{diag}(\varphi^k,\psi^k)P^{-1}\binom{F_1}{F_2}.

Passo 2

Calcule o polinômio característico de A resolvendo
\det(A-\lambda I)= \det\begin{pmatrix}-\lambda&1\\\ 1&1-\lambda\end{pmatrix} =\lambda^2-\lambda-1=0.
As raízes são
\lambda=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}.
Denote
\varphi=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}
e
\psi=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}.

Passo 3

Das propriedades das raízes de \lambda^2-\lambda-1=0 temos produto
\varphi\psi=-1. Logo
\psi=-\frac1\varphi.

Passo 4

Para cada autovalor \lambda resolva (A-\lambda I)v=0. Por exemplo, para \lambda=\varphi:
\begin{pmatrix}-\varphi&1\\\ 1&1-\varphi\end{pmatrix} \binom{x}{y}=0 \;\Longrightarrow\; y=\varphi x.
Escolhendo x=1 dá o autovetor v_\varphi=\binom{1}{\varphi}. De modo análogo v_\psi=\binom{1}{\psi}. Defina
P=\bigl[v_\varphi\;\;v_\psi\bigr] =\begin{pmatrix}1&1\\varphi&\psi\end{pmatrix},
que é invertível pois \varphi\neq\psi.

Passo 5

Com esses autovetores segue a diagonalização pedida:
A =P \begin{pmatrix}\varphi&0\\\ 0&\psi\end{pmatrix} P^{-1}.

Passo 6

Usando recursão em k fica imediato que
\binom{F_{k+1}}{F_{k+2}} = A \binom{F_{k}}{F_{k+1}} = A^2\binom{F_{k-1}}{F_{k}} =\cdots = A^k\binom{F_{1}}{F_{2}}.

Passo 7

Substituindo a diagonalização de A em A^k obtemos
A^k =\bigl(P\,\operatorname{diag}(\varphi,\psi)\,P^{-1}\bigr)^k = P\,\operatorname{diag}(\varphi^k,\psi^k)\,P^{-1},
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\binom{F_{k+1}}{F_{k+2}} = P \begin{pmatrix}\varphi^k&0\\\ 0&\psi^k\end{pmatrix} P^{-1} \binom{F_{1}}{F_{2}}.

Resposta

(a) \varphi=\dfrac{1+\sqrt5}{2}, \psi=\dfrac{1-\sqrt5}{2} e \psi=-1/\varphi.
(b) P=\begin{pmatrix}1&1\\varphi&\psi\end{pmatrix} e
\;A=P\operatorname{diag}(\varphi,\psi)P^{-1}.
(c) \displaystyle \binom{F_{k+1}}{F_{k+2}}=A^k\binom{F_{1}}{F_{2}}.
(d) \displaystyle \binom{F_{k+1}}{F_{k+2}} = P\,\begin{pmatrix}\varphi^k&0\\\ 0&\psi^k\end{pmatrix}\!P^{-1}\binom{F_{1}}{F_{2}}.

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