A média dos diâmetros internos de uma amostra de 200 arruelas produzidas por uma certa máquina é de 0,502 polegadas e o desvio padrão é 0,005 polegadas. A finalidade para a qual essas arruelas são fabricadas permite a tolerância máxima, para o diâmetro, de 0,496 a 0,508 polegadas; se isso não se verificar, as arruelas serão consideradas defeituosas. Determine a percentagem de arruelas defeituosas produzidas pela máquina, admitindo-se qua os diâmetros são distribuídos normalmente.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados da amostra de arruelas:
  • Tamanho da amostra: 200 (isso só confirma que os dados vêm de uma amostra grande, mas não é necessário para o cálculo da percentagem).
  • Média dos diâmetros: \bar{x}=0,502 polegadas.
  • Desvio-padrão amostral (ou suposto desvio da produção): s=0,005 polegadas.
  • Tolerância aceitável para o diâmetro: intervalo de 0,496 a 0,508 polegadas.
    A pergunta que o enunciado faz é: qual a percentagem de arruelas produzidas pela máquina que serão consideradas defeituosas, ou seja, cuja medida de diâmetro está fora do intervalo [0,496,\;0,508], assumindo que os diâmetros se distribuem normalmente?

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aula rapidinha): quando uma variável aleatória X tem distribuição normal com média \mu e desvio-padrão \sigma, escrevemos X \sim N(\mu,\sigma^2). Para calcular probabilidades usamos a padronização: definimos a variável normal padrão
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
onde Z tem distribuição normal padrão N(0,1) (média 0, desvio 1). A ideia é transformar qualquer limite x em um valor z pelo mesmo cálculo e então usar a tabela da normal padrão (ou funções de CDF) para obter probabilidades. Aqui:
  • \mu=0,502 é a média.
  • \sigma=0,005 é o desvio-padrão.
  • Para qualquer x, a probabilidade P(X\le x) é igual a P\!\left(Z\le\frac{x-\mu}{\sigma}\right).

Passo 3

Identificar quais diâmetros são considerados defeituosos e escrever isso em termos probabilísticos:
  • Defeituoso se X<0,496 ou X>0,508.
    Logo a probabilidade de defeito é
P(\text{defeito})=P(X<0,496)+P(X>0,508).
Como a distribuição é simétrica em relação à média e os limites estão igualmente distantes da média ( 0,502-0,496=0,006 e 0,508-0,502=0,006), convém padronizar um dos limites e usar simetria.

Passo 4

Calcular os escores z para os limites:
z_{\text{inferior}}=\frac{0,496-0,502}{0,005}=\frac{-0,006}{0,005}=-1{,}2,
z_{\text{superior}}=\frac{0,508-0,502}{0,005}=\frac{0,006}{0,005}=1{,}2.
Portanto
P(X<0,496)=P\big(Z<-1{,}2\big),\qquad P(X>0,508)=P\big(Z>1{,}2\big).

Passo 5

Usar a tabela da normal padrão (ou calculadora estatística): denotando por \Phi(z)=P(Z\le z) a função de distribuição da normal padrão, temos tabelas que dão \Phi(1{,}2)\approx 0{,}8849. Pela simetria da normal,
P(Z<-1{,}2)=1-\Phi(1{,}2)=1-0{,}8849=0{,}1151.
E igualmente P(Z>1{,}2)=1-\Phi(1{,}2)=0{,}1151.

Passo 6

Somar as duas caudas para obter a probabilidade total de defeito:
P(\text{defeito})=P(Z<-1{,}2)+P(Z>1{,}2)=0{,}1151+0{,}1151=0{,}2302.
Em percentagem isso é
0{,}2302\times100\% = 23{,}02\%.

Passo 7

Interpretação final e dica prática: cerca de 23{,}0\% das arruelas saem fora da tolerância e são consideradas defeituosas. Na prova, o procedimento essencial é sempre: (1) identificar média e desvio, (2) padronizar os limites com z=(x-\mu)/\sigma, (3) ler \Phi(z) na tabela e (4) somar as caudas se for “fora de um intervalo”. Você pode arredondar a resposta conforme o contexto (por exemplo, 23{,}0\% ou 23{,}02\%).

Resposta

23{,}02\%

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