A média dos diâmetros internos de uma amostra de 200 arruelas produzidas por uma certa máquina é de 0,502 polegadas e o desvio padrão é 0,005 polegadas. A finalidade para a qual essas arruelas são fabricadas permite a tolerância máxima, para o diâmetro, de 0,496 a 0,508 polegadas; se isso não se verificar, as arruelas serão consideradas defeituosas. Determine a percentagem de arruelas defeituosas produzidas pela máquina, admitindo-se qua os diâmetros são distribuídos normalmente.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados da amostra de arruelas:
- Tamanho da amostra:
(isso só confirma que os dados vêm de uma amostra grande, mas não é necessário para o cálculo da percentagem). - Média dos diâmetros:
polegadas. - Desvio-padrão amostral (ou suposto desvio da produção):
polegadas. - Tolerância aceitável para o diâmetro: intervalo de
a polegadas.
A pergunta que o enunciado faz é: qual a percentagem de arruelas produzidas pela máquina que serão consideradas defeituosas, ou seja, cuja medida de diâmetro está fora do intervalo, assumindo que os diâmetros se distribuem normalmente?
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (aula rapidinha): quando uma variável aleatória
tem distribuição normal com média
e desvio-padrão
, escrevemos
. Para calcular probabilidades usamos a padronização: definimos a variável normal padrão
onde
tem distribuição normal padrão
(média
, desvio
). A ideia é transformar qualquer limite
em um valor
pelo mesmo cálculo e então usar a tabela da normal padrão (ou funções de CDF) para obter probabilidades. Aqui:
-
é a média. -
é o desvio-padrão. - Para qualquer
, a probabilidade é igual a .
Passo 3
Identificar quais diâmetros são considerados defeituosos e escrever isso em termos probabilísticos:
- Defeituoso se
ou .
Logo a probabilidade de defeito é
Como a distribuição é simétrica em relação à média e os limites estão igualmente distantes da média (
e
), convém padronizar um dos limites e usar simetria.
Passo 4
Calcular os escores
para os limites:
Portanto
Passo 5
Usar a tabela da normal padrão (ou calculadora estatística): denotando por
a função de distribuição da normal padrão, temos tabelas que dão
. Pela simetria da normal,
E igualmente
.
Passo 6
Somar as duas caudas para obter a probabilidade total de defeito:
Em percentagem isso é
Passo 7
Interpretação final e dica prática: cerca de
das arruelas saem fora da tolerância e são consideradas defeituosas. Na prova, o procedimento essencial é sempre: (1) identificar média e desvio, (2) padronizar os limites com
, (3) ler
na tabela e (4) somar as caudas se for “fora de um intervalo”. Você pode arredondar a resposta conforme o contexto (por exemplo,
ou
).