(a) Calcule a magnetização de um ferromagneto com base na teoria do campo molecular de Weiss. (b) Faça um esboço da curva de magnetização em função da temperatura a campo nulo (c) Explique como pode ser obtida essa curva? (d) Calcule os expoentes críticos associados à magnetização e à susceptibilidade magnética. (e) Discuta a origem microscópica do campo molecular? Explique.
Passo 1
O enunciado pede cinco coisas relacionadas à teoria do campo molecular (Weiss) para um ferromagneto:
- (a) Calcular a magnetização (expressão auto-consistente) usando a teoria de Weiss.
- (b) Fazer um esboço qualitativo da curva
para campo externo nulo ( ). - (c) Explicar como obter essa curva na prática (método/algoritmo).
- (d) Calcular os expoentes críticos associados à magnetização e à susceptibilidade magnética próximos a
. - (e) Discutir a origem microscópica do chamado campo molecular.
Informações/hipóteses que vou usar (padrão da teoria de Weiss, hipótese de spin-1/2 para simplicidade didática):
- Cada momento magnético tem momento magnético individual denotado por
. - Densidade de momentos (número de momentos por unidade de volume) é
. - O campo molecular é proporcional à magnetização:
, onde é a constante do campo molecular (positiva para ferro). - Existe um campo externo
generalizado; em alguns itens consideramos . - Temperatura
, constante de Boltzmann .
Vou derivar a equação auto-consistente e usar aproximações padrão (expansão depara pequenas magnetizações) para obter comportamento perto de .
Passo 2
Modelo e derivação da equação auto-consistente (passo a passo, sem pular etapas).
- Definições físicas:
- Magnetização total por volume:
, onde (spin-1/2 orientado/anti-orientado) e é a média estatística do spin (fração orientada menos fração anti-orientada). - Campo efetivo sentido por cada momento magnético:
Aqui
é o campo externo aplicado e
tem unidades tais que
é um campo.
- Probabilidades estatísticas (Boltzmann) para um spin-1/2:
A energia de um momento magnéticonum campo é . As probabilidades de e são proporcionais a e , com .
A média
é
- Escrevendo a magnetização:
Esta é a equação auto-consistente procurada: ela determina
como função de
e
.
Passo 3
Linearização para obter susceptibilidade e temperatura crítica (Curie–Weiss).
- Para campo e magnetização pequenos (regime linear), use
para . Tome pequeno e pequeno:
- Reorganizando para obter
em função de :
- Defina a temperatura crítica da teoria de Weiss por
Então
- Susceptibilidade magnética (no limite
) é . Da expressão acima:
Isto é a lei de Curie–Weiss:
para
. Observação: para
a linearização falha e aparece magnetização espontânea.
Passo 4
Magnetização espontânea em
: resolução da equação auto-consistente e comportamento perto de
.
- Colocar
na equação auto-consistente:
- Definir a magnetização reduzida por momento máximo:
pois
— mais direto: usando
checamos que
. Esta é uma equação transcendental para
.
- Solução qualitativa:
- Para
(ou ) a única solução real é . - Para
existe além de uma solução (duas soluções simétricas ), correspondendo a magnetização espontânea (ferromagnetismo).
- Expansão próxima a
(método perturbativo para extrair o expoente crítico ):
Paraa magnetização reduzida é pequena. Use série de para :
Aqui tome
. Substituindo na equação
obtém-se
Rearranjando e dividindo por
:
Defina
. Então
Multiplicando por
,
Para
muito próximo de
(ou seja
próximo de
),
e então
Portanto, o comportamento crítico da magnetização espontânea próximo de
é
Passo 5
Esboço qualitativo da curva
em
(descrição passo a passo para desenhar mentalmente ou no quadro):
- Para
: . - Em
: transição contínua de segunda ordem; vai a zero de modo contínuo. - Para
: tem duas ramos estáveis ; escolha o ramo positivo se um pequeno campo ou inicialização favorece esse sinal. - Forma:
cresce de zero em como quando se afasta para , e para tende ao valor de saturação (todos os momentos alinhados). - Não há salto (discontinuidade): é uma transição contínua (segunda ordem) na aproximação de Weiss.
Passo 6
Como obter numericamente/ou graficamente a curva
(resumo de métodos que pode aplicar na prova ou em simulação):
- Resolução numérica direta:
- Para cada
fixo, resolva a equação transcendental
por métodos iterativos (iteração fixa
com cuidado de convergência) ou por métodos de Newton. Depois recalcule
. Este é o procedimento prático e simples numa calculadora/programa.
- Método gráfico:
- Plote a função
e . Intersecções dão soluções. Para interseção só em ; para aparecem interseções não nulas.
- Aproximações analíticas:
- Perto de
usar a expansão de (como em Passo 4) para obter . - Para
, tende a , então (saturação).
Passo 7
Cálculo dos expoentes críticos (resumo e interpretação).
-
Expoente da magnetização (conhecido como
em notação padrão de teoria de transição de fase): - Obtivemos
para . - Logo
.
- Obtivemos
-
Expoente da susceptibilidade (conhecido como
): - Para
a susceptibilidade diverge como . - Logo
.
- Para
(Observação: estes são os valores de mean-field/Weiss; modelos além do mean-field dão expoentes diferentes.)
Passo 8
Origem microscópica do campo molecular (explicação física e relação com troca de Heisenberg).
- História física curta e ideia:
- Weiss introduziu o campo molecular
como hipótese: cada momento sente um campo interno proporcional à magnetização média, o que explicava experimentalmente a magnetização espontânea e a lei de Curie–Weiss. - Mas Weiss não deu microjustificação. A explicação microscópica veio com a interação de troca quântica (Heisenberg) entre spins.
- Interação de troca (esquema e como gera um campo médio):
- Um Hamiltoniano simplificado de spins localizados é o modelo de Heisenberg:
onde
é a constante de troca e a soma é sobre pares vizinhos. (A convenção do fator
varia; o importante é sinal e dependência com
.)
- Para
a interação favorece alinhamento paralelo (ferromagnético). Em aproximação de campo médio, substitui-se pela sua média , obtendo uma energia de cada spin parecida com , equivalente a um campo efetivo na direção de .
- Conexão quantitativa (ordem de grandeza):
- No mean-field do Heisenberg, o campo efetivo por spin é proporcional a
, onde é o número de vizinhos (coordenação). Convertendo entre unidades de spin e momento magnético , obtém-se que o parâmetro da teoria de Weiss é proporcional a (e à densidade ) — portanto o campo molecular tem origem física no acoplamento de troca entre spins vizinhos. - Interações dipolares magnéticas também produzem campos internos, mas em materiais ferromagnéticos reais a troca quântica é muito mais forte e é a responsável pela ordem ferromagnética a temperaturas observadas.
- Intuição final:
- A troca é um efeito quântico (anti-simetrização da função de onda eletrônica + energia de Coulomb) que custa menos energia quando spins estão alinhados (para certos orbitais), gerando efetivamente um campo que “puxa” spins para o mesmo sentido. Weiss capturou esse efeito por um termo macroscópico
; o Heisenberg mostra como depende de e da estrutura cristalina.
Resposta
(a)
.\n
(b) Esboço: para
; para
aparece
contínuo em
, com
crescendo ao diminuir
e saturando em
para
(transição de segunda ordem).\n
(c) Obter resolvendo a equação auto-consistente em cada : numericamente (iteração fixa ou Newton) ou graficamente
vs
; analisar limites (expansão perto de
e saturação para
).\n
(d) Expoentes da teoria de Weiss (mean-field): para
e
para
.\n
(e) Origem microscópica: o campo molecular resulta da interação de troca entre spins (Heisenberg) — cada spin, pela interação com vizinhos (proporcional a e ao número de vizinhos
), sofre um campo efetivo
que justifica o termo
. Interações dipolares existem, mas a troca quântica é a causa principal do ferromagnetismo observado.
(b) Esboço:
(c) Obter resolvendo a equação auto-consistente em cada
(d) Expoentes da teoria de Weiss (mean-field):
(e) Origem microscópica: o campo molecular resulta da interação de troca entre spins (Heisenberg) — cada spin, pela interação com vizinhos (proporcional a