(a) Calcule a magnetização de um ferromagneto com base na teoria do campo molecular de Weiss. (b) Faça um esboço da curva de magnetização em função da temperatura a campo nulo (c) Explique como pode ser obtida essa curva? (d) Calcule os expoentes críticos associados à magnetização e à susceptibilidade magnética. (e) Discuta a origem microscópica do campo molecular? Explique.

Passo 1

O enunciado pede cinco coisas relacionadas à teoria do campo molecular (Weiss) para um ferromagneto:
  • (a) Calcular a magnetização (expressão auto-consistente) usando a teoria de Weiss.
  • (b) Fazer um esboço qualitativo da curva M(T) para campo externo nulo ( H=0).
  • (c) Explicar como obter essa curva na prática (método/algoritmo).
  • (d) Calcular os expoentes críticos associados à magnetização e à susceptibilidade magnética próximos a T_C.
  • (e) Discutir a origem microscópica do chamado campo molecular.
Informações/hipóteses que vou usar (padrão da teoria de Weiss, hipótese de spin-1/2 para simplicidade didática):
  • Cada momento magnético tem momento magnético individual denotado por \mu.
  • Densidade de momentos (número de momentos por unidade de volume) é N.
  • O campo molecular é proporcional à magnetização: H_{\rm mf}=\alpha M, onde \alpha é a constante do campo molecular (positiva para ferro).
  • Existe um campo externo H generalizado; em alguns itens consideramos H=0.
  • Temperatura T, constante de Boltzmann k_B.
    Vou derivar a equação auto-consistente e usar aproximações padrão (expansão de \operatorname{tanh} para pequenas magnetizações) para obter comportamento perto de T_C.

Passo 2

Modelo e derivação da equação auto-consistente (passo a passo, sem pular etapas).
  1. Definições físicas:
  • Magnetização total por volume: M = N \mu \langle s\rangle, onde s=\pm1 (spin-1/2 orientado/anti-orientado) e \langle s\rangle é a média estatística do spin (fração orientada menos fração anti-orientada).
  • Campo efetivo sentido por cada momento magnético:
H_{\rm eff} = H + H_{\rm mf} = H + \alpha M.
Aqui H é o campo externo aplicado e \alpha tem unidades tais que \alpha M é um campo.
  1. Probabilidades estatísticas (Boltzmann) para um spin-1/2:
    A energia de um momento magnético \mu num campo H_{\rm eff} é -\mu H_{\rm eff} s. As probabilidades de s=+1 e s=-1 são proporcionais a \exp(\beta \mu H_{\rm eff}) e \exp(-\beta \mu H_{\rm eff}), com \beta = 1/(k_B T).
A média \langle s\rangle é
\langle s\rangle = \frac{e^{\beta \mu H_{\rm eff}} - e^{-\beta \mu H_{\rm eff}}}{e^{\beta \mu H_{\rm eff}} + e^{-\beta \mu H_{\rm eff}}} = \operatorname{tanh}\bigl(\beta \mu H_{\rm eff}\bigr).
  1. Escrevendo a magnetização:
M = N \mu \langle s\rangle = N \mu \operatorname{tanh}\bigl(\beta \mu(H + \alpha M)\bigr).
Esta é a equação auto-consistente procurada: ela determina M como função de T e H.

Passo 3

Linearização para obter susceptibilidade e temperatura crítica (Curie–Weiss).
  1. Para campo e magnetização pequenos (regime linear), use \operatorname{tanh} x \approx x para x\ll1. Tome H pequeno e M pequeno:
M \approx N \mu \left[\beta \mu (H + \alpha M)\right] = \frac{N \mu^2}{k_B T}\,(H + \alpha M).
  1. Reorganizando para obter M em função de H:
M \left[1 - \frac{N \mu^2 \alpha}{k_B T}\right] = \frac{N \mu^2}{k_B T}\,H.
  1. Defina a temperatura crítica da teoria de Weiss por
T_C \equiv \frac{N \mu^2 \alpha}{k_B}.
Então
M \left(1 - \frac{T_C}{T}\right) = \frac{N \mu^2}{k_B T}\,H.
  1. Susceptibilidade magnética (no limite H\to0) é \chi \equiv \left(\dfrac{\partial M}{\partial H}\right)_{H=0}. Da expressão acima:
\chi = \frac{M}{H} = \frac{N \mu^2 / k_B}{T - T_C}.
Isto é a lei de Curie–Weiss: \chi \propto 1/(T-T_C) para T>T_C. Observação: para T<T_C a linearização falha e aparece magnetização espontânea.

Passo 4

Magnetização espontânea em H=0: resolução da equação auto-consistente e comportamento perto de T_C.
  1. Colocar H=0 na equação auto-consistente:
M = N \mu \operatorname{tanh}\!\biggl(\frac{\mu \alpha M}{k_B T}\biggr).
  1. Definir a magnetização reduzida por momento máximo:
m \equiv \frac{M}{N\mu},\qquad\text{logo}\qquad m = \operatorname{tanh}\!\Bigl(\frac{T_C}{T}\, m\Bigr),
pois \dfrac{\mu \alpha}{k_B} = \dfrac{T_C}{N\mu}\cdot? — mais direto: usando T_C = N\mu^2 \alpha /k_B checamos que \dfrac{\mu\alpha M}{k_B T} = \dfrac{T_C}{T}\, m. Esta é uma equação transcendental para m.
  1. Solução qualitativa:
  • Para T>T_C (ou T/T_C>1) a única solução real é m=0.
  • Para T<T_C existe além de m=0 uma solução m\neq0 (duas soluções simétricas m=\pm m(T)), correspondendo a magnetização espontânea (ferromagnetismo).
  1. Expansão próxima a T_C (método perturbativo para extrair o expoente crítico \beta):
    Para T\lesssim T_C a magnetização reduzida m é pequena. Use série de \operatorname{tanh} y para y\ll1:
\operatorname{tanh} y = y - \frac{y^3}{3} + O(y^5).
Aqui tome y = \dfrac{T_C}{T}\, m. Substituindo na equação m = \operatorname{tanh}\bigl(\tfrac{T_C}{T}m\bigr) obtém-se
m = \frac{T_C}{T}\, m - \frac{1}{3}\left(\frac{T_C}{T}\right)^3 m^3 + \cdots.
Rearranjando e dividindo por m\neq0:
1 - \frac{T_C}{T} + \frac{1}{3}\left(\frac{T_C}{T}\right)^3 m^2 = 0.
Defina t\equiv T/T_C. Então
\frac{1}{3}\frac{1}{t^3} m^2 = \frac{1}{t} - 1 = \frac{1 - t}{t}.
Multiplicando por 3 t^3,
m^2 = 3 t^2 (1 - t).
Para t muito próximo de 1 (ou seja T próximo de T_C), t\approx1 e então
m \approx \sqrt{3(1 - t)} = \sqrt{3\frac{T_C - T}{T_C}} \quad\Rightarrow\quad M = N\mu\, m \propto (T_C - T)^{1/2}.
Portanto, o comportamento crítico da magnetização espontânea próximo de T_C é
M(T)\propto (T_C - T)^{1/2}\quad\text{para }T\to T_C^-.

Passo 5

Esboço qualitativo da curva M(T) em H=0 (descrição passo a passo para desenhar mentalmente ou no quadro):
  • Para T > T_C: M=0.
  • Em T=T_C: transição contínua de segunda ordem; M vai a zero de modo contínuo.
  • Para T < T_C: M tem duas ramos estáveis M=\pm M(T); escolha o ramo positivo se um pequeno campo ou inicialização favorece esse sinal.
  • Forma: M cresce de zero em T_C como \propto (T_C-T)^{1/2} quando se afasta para T<T_C, e para T\ll T_C tende ao valor de saturação M\to N\mu (todos os momentos alinhados).
  • Não há salto (discontinuidade): é uma transição contínua (segunda ordem) na aproximação de Weiss.

Passo 6

Como obter numericamente/ou graficamente a curva M(T) (resumo de métodos que pode aplicar na prova ou em simulação):
  1. Resolução numérica direta:
  • Para cada T fixo, resolva a equação transcendental
m = \operatorname{tanh}\Bigl(\frac{T_C}{T} m\Bigr)
por métodos iterativos (iteração fixa m_{n+1}=\operatorname{tanh}(\tfrac{T_C}{T} m_n) com cuidado de convergência) ou por métodos de Newton. Depois recalcule M=N\mu m. Este é o procedimento prático e simples numa calculadora/programa.
  1. Método gráfico:
  • Plote a função y_1(m)=m e y_2(m)=\operatorname{tanh}\!\bigl(\tfrac{T_C}{T} m\bigr). Intersecções dão soluções. Para T>T_C interseção só em m=0; para T<T_C aparecem interseções não nulas.
  1. Aproximações analíticas:
  • Perto de T_C usar a expansão de \operatorname{tanh} (como em Passo 4) para obter M\propto (T_C-T)^{1/2}.
  • Para T\ll T_C, \operatorname{tanh} tende a 1, então M\to N\mu (saturação).

Passo 7

Cálculo dos expoentes críticos (resumo e interpretação).
  • Expoente da magnetização (conhecido como \beta em notação padrão de teoria de transição de fase):
    • Obtivemos M(T)\propto (T_C-T)^{1/2} para T\to T_C^-.
    • Logo \beta = \tfrac{1}{2}.
  • Expoente da susceptibilidade (conhecido como \gamma):
    • Para T\to T_C^+ a susceptibilidade diverge como \chi \propto 1/(T-T_C).
    • Logo \gamma = 1.
(Observação: estes são os valores de mean-field/Weiss; modelos além do mean-field dão expoentes diferentes.)

Passo 8

Origem microscópica do campo molecular (explicação física e relação com troca de Heisenberg).
  1. História física curta e ideia:
  • Weiss introduziu o campo molecular \alpha M como hipótese: cada momento sente um campo interno proporcional à magnetização média, o que explicava experimentalmente a magnetização espontânea e a lei de Curie–Weiss.
  • Mas Weiss não deu microjustificação. A explicação microscópica veio com a interação de troca quântica (Heisenberg) entre spins.
  1. Interação de troca (esquema e como gera um campo médio):
  • Um Hamiltoniano simplificado de spins localizados é o modelo de Heisenberg:
\mathcal{H} = -2J \sum_{\langle i,j\rangle} \mathbf{S}_i\cdot\mathbf{S}_j,
onde J é a constante de troca e a soma é sobre pares vizinhos. (A convenção do fator 2 varia; o importante é sinal e dependência com J.)
  • Para J>0 a interação favorece alinhamento paralelo (ferromagnético). Em aproximação de campo médio, substitui-se \mathbf{S}_j pela sua média \langle\mathbf{S}\rangle, obtendo uma energia de cada spin parecida com -\text{const}\cdot \mathbf{S}_i\cdot\langle\mathbf{S}\rangle, equivalente a um campo efetivo na direção de \langle\mathbf{S}\rangle.
  1. Conexão quantitativa (ordem de grandeza):
  • No mean-field do Heisenberg, o campo efetivo por spin é proporcional a zJ\langle S\rangle, onde z é o número de vizinhos (coordenação). Convertendo entre unidades de spin e momento magnético \mu=g\mu_B S, obtém-se que o parâmetro \alpha da teoria de Weiss é proporcional a zJ (e à densidade N) — portanto o campo molecular tem origem física no acoplamento de troca entre spins vizinhos.
  • Interações dipolares magnéticas também produzem campos internos, mas em materiais ferromagnéticos reais a troca quântica é muito mais forte e é a responsável pela ordem ferromagnética a temperaturas observadas.
  1. Intuição final:
  • A troca é um efeito quântico (anti-simetrização da função de onda eletrônica + energia de Coulomb) que custa menos energia quando spins estão alinhados (para certos orbitais), gerando efetivamente um campo que “puxa” spins para o mesmo sentido. Weiss capturou esse efeito por um termo macroscópico \alpha M; o Heisenberg mostra como \alpha depende de J e da estrutura cristalina.

Resposta

(a) M = N \mu \operatorname{tanh}\!\biggl(\dfrac{\mu\,(H + \alpha M)}{k_B T}\biggr).\n
(b) Esboço: M=0 para T>T_C; para T<T_C aparece M=\pm M(T) contínuo em T_C, com M(T) crescendo ao diminuir T e saturando em M\to N\mu para T\ll T_C (transição de segunda ordem).\n
(c) Obter resolvendo a equação auto-consistente em cada T: numericamente (iteração fixa ou Newton) ou graficamente m vs \operatorname{tanh}\bigl(\tfrac{T_C}{T}m\bigr); analisar limites (expansão perto de T_C e saturação para T\ll T_C).\n
(d) Expoentes da teoria de Weiss (mean-field): \beta=\tfrac{1}{2} para M\propto (T_C-T)^{\beta} e \gamma=1 para \chi\propto |T-T_C|^{-\gamma}.\n
(e) Origem microscópica: o campo molecular resulta da interação de troca entre spins (Heisenberg) — cada spin, pela interação com vizinhos (proporcional a J e ao número de vizinhos z), sofre um campo efetivo \propto zJ\langle S\rangle que justifica o termo \alpha M. Interações dipolares existem, mas a troca quântica é a causa principal do ferromagnetismo observado.

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