1.1.1.2 Média e mediana:
A média de três números inteiros
e C é
. A mediana de três números inteiros é o número que ficaria no meio se os três números fossem ordenados em ordem não-decrescente. Por exemplo, se
e
, a média vale
e a mediana vale 6 (pois ordenando os três números obtemos
).
Passo 1
O enunciado fornece definições e um exemplo. Vou listar claramente o que temos e o que tipicamente se pede com esse tipo de enunciado.
-
Informações dadas:
- A média de três números inteiros
, e é definida como . - A mediana de três números inteiros é o número que fica no meio quando os três são ordenados em ordem não-decrescente (da menor para a maior, permitindo repetições).
- Exemplo fornecido:
, e . No enunciado já aparece que a média vale e que a mediana é (porque a ordenação é ).
- A média de três números inteiros
-
O que tipicamente se pede (implícito pelo enunciado):
- Calcular a média de três inteiros dados.
- Calcular a mediana desses três inteiros.
- Entender e saber aplicar as definições de forma rápida e segura na prova.
A partir daqui vou explicar passo a passo como calcular média e mediana, dando truques, exemplos e mostrando todas as contas de forma bem detalhada para você poder reproduzir na prova.
Passo 2
Entendendo e calculando a média passo a passo.
- Definição: a média aritmética de três números
, e é
Explicando cada parte:
é a soma dos três valores; dividir por
dá o valor “por cabeça”, ou seja, o valor médio.
-
Procedimento prático (passos que você faz na prova):
- Calcule a soma
. - Divida
por . - Se
for múltiplo de , a média é um inteiro; caso contrário, é uma fração ou decimal.
- Calcule a soma
-
Aplicando ao exemplo dado:
- Some:
. - Faça a adição passo a passo:
; então . Logo . - Divida por
: .
Portanto a média é.
- Some:
-
Observação prática: para evitar erros de sinal ou de conta, some dois números primeiro (os que você achar mais fáceis) e depois some o terceiro; se a soma for grande e você precisar simplificar, veja se é divisível por
antes de dividir.
Passo 3
Entendendo e calculando a mediana passo a passo.
-
Definição: a mediana de três números
, , é o número que fica no meio quando os três são colocados em ordem não-decrescente. Em outras palavras, ordene os três valores do menor para o maior e escolha o segundo da lista. -
Procedimento prático (método direto por ordenação):
- Compare
, e para colocar em ordem. Uma forma simples: encontre o menor, depois o maior, e o que sobra é o do meio. - Depois de ordenar, a mediana é o elemento do meio.
- Compare
-
Truque muito útil (fórmula curta) — evita ordenar explicitamente:
- Se
, e , , então a mediana é
Explicação simples: ao subtrair da soma o menor e o maior, sobra justamente o valor do meio. - Se
-
Aplicando ao exemplo dado (
, , ): - Soma
(já calculado). - Menor é
, maior é . - Mediana
.
Esse resultado coincide com a ordenação, onde o elemento do meio é .
- Soma
Passo 4
Casos especiais e exemplos adicionais (para fixar e preparar para a prova).
-
Caso com repetição:
- Exemplo:
, , . - Soma
. Média (não inteiro). - Menor
, maior . Mediana . Ordenação confirma mediana .
- Exemplo:
-
Caso com média não inteira:
- Exemplo:
, , . - Soma
. Média (aproximadamente ), escreva a fração se forem pedir exatidão. - Menor
, maior . Mediana . Ordenação confirma mediana .
- Exemplo:
-
Caso com números negativos:
- Exemplo:
, , . - Soma
. Média . - Menor
, maior . Mediana . Ordenação confirma mediana .
- Exemplo:
Passo 5
Comparações rápidas entre média e mediana (o que esperar na prova).
-
Ambas ficam entre o menor e o maior:Ou seja, nenhum dos dois pode ficar fora do intervalo formado pelos valores extremos.
-
A média pode ser maior, menor ou igual à mediana dependendo dos números:
- Média = Mediana: ocorre em muitos casos (por exemplo se os três números são iguais, ou em outros arranjos).
- Média > Mediana: acontece quando há um valor muito grande (outlier) puxando a média para cima.
- Média < Mediana: acontece quando há um valor muito pequeno puxando a média para baixo.
-
Na prova: não tente afirmar relações entre média e mediana sem verificar os números — dê exemplos ou calcule.
Passo 6
Dicas rápidas para a prova (tempo curto, sem calculadora):
-
Para a média:
- Some dois números fáceis primeiro, depois some o terceiro.
- Verifique divisibilidade por
para saber se a média será inteira.
-
Para a mediana:
- Use o truque
– é rápido e seguro. - Ou encontre o menor e o maior rapidamente; o que sobra é a mediana.
- Use o truque
-
Quando escrever resposta final em prova:
- Se pedirem a média exata, escreva a fração
se não for um inteiro. - Para a mediana, escreva o número inteiro resultante (no caso de três inteiros, a mediana sempre será um dos três inteiros dados).
- Se pedirem a média exata, escreva a fração
Resposta
Média
Mediana
Mediana