1.1.1.2 Média e mediana:

A média de três números inteiros \mathrm{A}, \mathrm{B} e C é (\mathrm{A}+\mathrm{B}+\mathrm{C}) / 3. A mediana de três números inteiros é o número que ficaria no meio se os três números fossem ordenados em ordem não-decrescente. Por exemplo, se \mathrm{A}=11, \mathrm{~B}=4 e \mathrm{C}=6, a média vale (11+4+6) / 3=7 e a mediana vale 6 (pois ordenando os três números obtemos [4,6,11] ).

Passo 1

O enunciado fornece definições e um exemplo. Vou listar claramente o que temos e o que tipicamente se pede com esse tipo de enunciado.
  • Informações dadas:
    • A média de três números inteiros A, B e C é definida como \dfrac{A+B+C}{3}.
    • A mediana de três números inteiros é o número que fica no meio quando os três são ordenados em ordem não-decrescente (da menor para a maior, permitindo repetições).
    • Exemplo fornecido: A=11, B=4 e C=6. No enunciado já aparece que a média vale \dfrac{11+4+6}{3}=7 e que a mediana é 6 (porque a ordenação é [4,6,11]).
  • O que tipicamente se pede (implícito pelo enunciado):
    • Calcular a média de três inteiros dados.
    • Calcular a mediana desses três inteiros.
    • Entender e saber aplicar as definições de forma rápida e segura na prova.
A partir daqui vou explicar passo a passo como calcular média e mediana, dando truques, exemplos e mostrando todas as contas de forma bem detalhada para você poder reproduzir na prova.

Passo 2

Entendendo e calculando a média passo a passo.
  • Definição: a média aritmética de três números A, B e C é
\text{média} = \frac{A+B+C}{3}.é
Explicando cada parte: A+B+C é a soma dos três valores; dividir por 3 dá o valor “por cabeça”, ou seja, o valor médio.
  • Procedimento prático (passos que você faz na prova):
    1. Calcule a soma S = A+B+C.
    2. Divida S por 3.
    3. Se S for múltiplo de 3, a média é um inteiro; caso contrário, é uma fração ou decimal.
  • Aplicando ao exemplo dado:
    1. Some: S = 11 + 4 + 6.
    2. Faça a adição passo a passo: 11 + 4 = 15; então 15 + 6 = 21. Logo S = 21.
    3. Divida por 3: \dfrac{21}{3} = 7.
      Portanto a média é 7.
  • Observação prática: para evitar erros de sinal ou de conta, some dois números primeiro (os que você achar mais fáceis) e depois some o terceiro; se a soma for grande e você precisar simplificar, veja se é divisível por 3 antes de dividir.

Passo 3

Entendendo e calculando a mediana passo a passo.
  • Definição: a mediana de três números A, B, C é o número que fica no meio quando os três são colocados em ordem não-decrescente. Em outras palavras, ordene os três valores do menor para o maior e escolha o segundo da lista.
  • Procedimento prático (método direto por ordenação):
    1. Compare A, B e C para colocar em ordem. Uma forma simples: encontre o menor, depois o maior, e o que sobra é o do meio.
    2. Depois de ordenar, a mediana é o elemento do meio.
  • Truque muito útil (fórmula curta) — evita ordenar explicitamente:
    • Se S=A+B+C, e m_{\min}=\min\{A,B,C\}, m_{\max}=\max\{A,B,C\}, então a mediana é
    \text{mediana} = S - m_{\min} - m_{\max}.
    Explicação simples: ao subtrair da soma o menor e o maior, sobra justamente o valor do meio.
  • Aplicando ao exemplo dado ( A=11, B=4, C=6):
    1. Soma S = 11+4+6 = 21 (já calculado).
    2. Menor é 4, maior é 11.
    3. Mediana = 21 - 4 - 11 = 6.
      Esse resultado coincide com a ordenação [4,6,11], onde o elemento do meio é 6.

Passo 4

Casos especiais e exemplos adicionais (para fixar e preparar para a prova).
  • Caso com repetição:
    • Exemplo: A=5, B=5, C=10.
    • Soma S = 5+5+10 = 20. Média = \dfrac{20}{3} = \dfrac{20}{3} (não inteiro).
    • Menor =5, maior =10. Mediana = 20 - 5 - 10 = 5. Ordenação [5,5,10] confirma mediana 5.
  • Caso com média não inteira:
    • Exemplo: A=1, B=2, C=4.
    • Soma S = 1+2+4 = 7. Média = \dfrac{7}{3} (aproximadamente 2,\!333\ldots), escreva a fração \dfrac{7}{3} se forem pedir exatidão.
    • Menor =1, maior =4. Mediana = 7 - 1 - 4 = 2. Ordenação [1,2,4] confirma mediana 2.
  • Caso com números negativos:
    • Exemplo: A=-3, B=2, C=0.
    • Soma S = -3+2+0 = -1. Média = \dfrac{-1}{3}.
    • Menor =-3, maior =2. Mediana = -1 - (-3) - 2 = 0. Ordenação [-3,0,2] confirma mediana 0.

Passo 5

Comparações rápidas entre média e mediana (o que esperar na prova).
  • Ambas ficam entre o menor e o maior:
    \min\{A,B,C\} \le \text{mediana} \le \max\{A,B,C\}, \qquad \min\{A,B,C\} \le \text{média} \le \max\{A,B,C\}.é
    Ou seja, nenhum dos dois pode ficar fora do intervalo formado pelos valores extremos.
  • A média pode ser maior, menor ou igual à mediana dependendo dos números:
    • Média = Mediana: ocorre em muitos casos (por exemplo se os três números são iguais, ou em outros arranjos).
    • Média > Mediana: acontece quando há um valor muito grande (outlier) puxando a média para cima.
    • Média < Mediana: acontece quando há um valor muito pequeno puxando a média para baixo.
  • Na prova: não tente afirmar relações entre média e mediana sem verificar os números — dê exemplos ou calcule.

Passo 6

Dicas rápidas para a prova (tempo curto, sem calculadora):
  • Para a média:
    • Some dois números fáceis primeiro, depois some o terceiro.
    • Verifique divisibilidade por 3 para saber se a média será inteira.
  • Para a mediana:
    • Use o truque \text{mediana} = A+B+C - \min - \max – é rápido e seguro.
    • Ou encontre o menor e o maior rapidamente; o que sobra é a mediana.
  • Quando escrever resposta final em prova:
    • Se pedirem a média exata, escreva a fração \dfrac{A+B+C}{3} se não for um inteiro.
    • Para a mediana, escreva o número inteiro resultante (no caso de três inteiros, a mediana sempre será um dos três inteiros dados).

Resposta

Média =7
Mediana =6

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