(2,0 pontos) Questão 2 - A definição da força resultante pode ser escrita em termos do momento linear,
. Na mecânica relativística, essa mesma definiçāo pode ser utilizada para obter a força sobre uma partícula. Partindo do momento linear relativistico, obtenha a expressão da força em termos de
e
.
Passo 1
O enunciado fornece a definição da força como a derivada do momento linear:
e nos diz para partir do momento linear relativístico e obter a expressão da força em termos de
,
e
. Informação explícita que podemos usar:
- O momento linear fornecido é
. -
é a velocidade da partícula e a aceleração. - A constante
é a velocidade de referência (velocidade da luz).
O que o exercício pede: calcularescrevendo o resultado só em termos de , , (e se aparecer).
Passo 2
Escrever explicitamente o momento que vamos derivar e definir
. Temos:
Aqui
significa o produto escalar
. O objetivo é calcular
Passo 3
Aplicar a regra do produto para a derivada:
Portanto
Agora precisamos calcular
em termos de
e
.
Passo 4
Derivar
pelo tempo. Escrevendo
e usando regra da cadeia:
Simplificando os sinais e potências obtemos
Isso é uma fórmula útil e muito usada: a taxa de variação de
é proporcional a
.
Passo 5
Substituir
em
:
Podemos factorar
para obter uma forma alternativa conveniente:
Essas duas formas são equivalentes; a primeira deixa claro a contribuição do termo
e a segunda facilita algumas manipulações.
Passo 6
Separar a aceleração nas componentes paralela e perpendicular à velocidade para interpretar melhor. Definir
Substituindo na expressão de
e simplificando dá-se:
- Para a componente paralela:
- Para a componente perpendicular:
Portanto a força age de forma “anisotrópica”: acelerações paralelas à velocidade são multiplicadas por
, enquanto acelerações perpendiculares são multiplicadas por
.
Passo 7
Resumo físico e limites:
- Se
(aceleração perpendicular à velocidade) então
- Se
é paralela a então
- No limite de baixas velocidades,
e recupera-se (segunda lei newtoniana usual). Força e inércia tornam-se “isotrópicas” nesse limite.
Resposta
ou, equivalentemente,
com as componentes