(2,0 pontos) Questão 2 - A definição da força resultante pode ser escrita em termos do momento linear, \boldsymbol{F}=\mathbf{d p} / \mathbf{d t}. Na mecânica relativística, essa mesma definiçāo pode ser utilizada para obter a força sobre uma partícula. Partindo do momento linear relativistico, obtenha a expressão da força em termos de \boldsymbol{m}, \boldsymbol{v} e \boldsymbol{a}.

Passo 1

O enunciado fornece a definição da força como a derivada do momento linear:
\boldsymbol{F}=\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{p}}{\mathrm{d}t},
e nos diz para partir do momento linear relativístico e obter a expressão da força em termos de \boldsymbol{m}, \boldsymbol{v} e \boldsymbol{a}. Informação explícita que podemos usar:
  • O momento linear fornecido é \boldsymbol{p}=\gamma\,m\,\boldsymbol{v}.
  • \boldsymbol{v}=\boldsymbol{v}(t) é a velocidade da partícula e \boldsymbol{a}=\dfrac{\mathrm{d}\boldsymbol{v}}{\mathrm{d}t} a aceleração.
  • A constante c é a velocidade de referência (velocidade da luz).
    O que o exercício pede: calcular \boldsymbol{F}=\dfrac{\mathrm{d}\boldsymbol{p}}{\mathrm{d}t} escrevendo o resultado só em termos de m, \boldsymbol{v}, \boldsymbol{a} (e c se aparecer).

Passo 2

Escrever explicitamente o momento que vamos derivar e definir \gamma. Temos:
\boldsymbol{p}=\gamma\,m\,\boldsymbol{v}, \qquad \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{\boldsymbol{v}^2}{c^2}}}.
Aqui \boldsymbol{v}^2 significa o produto escalar \boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{v}. O objetivo é calcular
\boldsymbol{F}=\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{p}}{\mathrm{d}t}=m\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\big(\gamma\boldsymbol{v}\big).

Passo 3

Aplicar a regra do produto para a derivada:
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\big(\gamma\boldsymbol{v}\big)=\gamma\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{v}}{\mathrm{d}t}+\boldsymbol{v}\frac{\mathrm{d}\gamma}{\mathrm{d}t} =\gamma\,\boldsymbol{a}+\boldsymbol{v}\,\frac{\mathrm{d}\gamma}{\mathrm{d}t}.
Portanto
\boldsymbol{F}=m\big(\gamma\,\boldsymbol{a}+\boldsymbol{v}\,\frac{\mathrm{d}\gamma}{\mathrm{d}t}\big).
Agora precisamos calcular \dfrac{\mathrm{d}\gamma}{\mathrm{d}t} em termos de \boldsymbol{v} e \boldsymbol{a}.

Passo 4

Derivar \gamma pelo tempo. Escrevendo \gamma=(1-\boldsymbol{v}^2/c^2)^{-1/2} e usando regra da cadeia:
\frac{\mathrm{d}\gamma}{\mathrm{d}t} = -\tfrac{1}{2}\big(1-\tfrac{\boldsymbol{v}^2}{c^2}\big)^{-3/2}\cdot\big(-2\frac{\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{a}}{c^2}\big).
Simplificando os sinais e potências obtemos
\frac{\mathrm{d}\gamma}{\mathrm{d}t} = \gamma^{3}\,\frac{\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{a}}{c^2}.
Isso é uma fórmula útil e muito usada: a taxa de variação de \gamma é proporcional a \boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{a}.

Passo 5

Substituir \dfrac{\mathrm{d}\gamma}{\mathrm{d}t} em \boldsymbol{F}:
\boldsymbol{F}=m\Big(\gamma\,\boldsymbol{a}+\boldsymbol{v}\,\gamma^{3}\frac{\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{a}}{c^2}\Big).
Podemos factorar \gamma para obter uma forma alternativa conveniente:
\boldsymbol{F}=m\gamma\Big(\boldsymbol{a}+\gamma^{2}\frac{\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{a}}{c^2}\,\boldsymbol{v}\Big).
Essas duas formas são equivalentes; a primeira deixa claro a contribuição do termo \boldsymbol{v}\, e a segunda facilita algumas manipulações.

Passo 6

Separar a aceleração nas componentes paralela e perpendicular à velocidade para interpretar melhor. Definir
\boldsymbol{a}_{\parallel}=\frac{\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{a}}{\boldsymbol{v}^2}\,\boldsymbol{v}, \qquad \boldsymbol{a}_{\perp}=\boldsymbol{a}-\boldsymbol{a}_{\parallel}.
Substituindo na expressão de \boldsymbol{F} e simplificando dá-se:
  • Para a componente paralela:
\boldsymbol{F}_{\parallel}=m\gamma^{3}\,\boldsymbol{a}_{\parallel}.
  • Para a componente perpendicular:
\boldsymbol{F}_{\perp}=m\gamma\,\boldsymbol{a}_{\perp}.
Portanto a força age de forma “anisotrópica”: acelerações paralelas à velocidade são multiplicadas por m\gamma^{3}, enquanto acelerações perpendiculares são multiplicadas por m\gamma.

Passo 7

Resumo físico e limites:
  • Se \boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{a}=0 (aceleração perpendicular à velocidade) então
\boldsymbol{F}=m\gamma\,\boldsymbol{a}.
  • Se \boldsymbol{a} é paralela a \boldsymbol{v} então
\boldsymbol{F}=m\gamma^{3}\,\boldsymbol{a}.
  • No limite de baixas velocidades, \gamma\to 1 e recupera-se \boldsymbol{F}\approx m\boldsymbol{a} (segunda lei newtoniana usual). Força e inércia tornam-se “isotrópicas” nesse limite.

Resposta

\boldsymbol{F}=m\Big(\gamma\,\boldsymbol{a}+\gamma^{3}\frac{\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{a}}{c^2}\,\boldsymbol{v}\Big)
ou, equivalentemente,
\boldsymbol{F}=m\gamma\Big(\boldsymbol{a}+\gamma^{2}\frac{\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{a}}{c^2}\,\boldsymbol{v}\Big),
com as componentes
\boldsymbol{F}_{\parallel}=m\gamma^{3}\,\boldsymbol{a}_{\parallel},\qquad \boldsymbol{F}_{\perp}=m\gamma\,\boldsymbol{a}_{\perp}.

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