A média de preço das ações das empresas que compõem a S&P 500 é US$30 , e o desvio padrăo é US$ 8,20 (Business Week, edição especial anual, primavera de 2003). Suponha que os preços das ações se distribuam normalmente.
a. Qual é a probabilidade de uma empresa ter um preço de, no mínimo, US \ 40$ para suas ações?
b. Qual é a probabilidade de uma empresa ter um preço não superior a US \ 20$ para suas ações?
c. Qual deve ser o preço das ações para que a empresa seja inclứda entre as 10 \% maiores?

Passo 1

O enunciado fornece que a média dos preços das ações é \mu = 30 (US$) e o desvio padrão é \sigma = 8,20 (US$). Também diz para supor que os preços seguem uma distribuição normal. As perguntas são:
a. Qual é a probabilidade de uma ação custar, no mínimo, \$40?
b. Qual é a probabilidade de uma ação custar no máximo \$20?
c. Qual deve ser o preço para que a empresa esteja entre os 10\% maiores (ou seja, no percentil 90\%)?

Passo 2

Conceito e ferramenta que vamos usar (explicação didática). Quando uma variável aleatória X é normal com média \mu e desvio padrão \sigma, escrevemos X \sim N(\mu,\sigma^2). Para calcular probabilidades usamos a padronização: transformamos X numa variável normal padrão Z com média 0 e desvio 1. A fórmula de padronização é
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
Aqui X é o valor de preço que queremos analisar, \mu é a média (a “posição” central) e \sigma mede a dispersão (quão espalhados estão os preços). Depois de transformar, consultamos a tabela da normal padrão (função de distribuição acumulada \Phi(z)=P(Z\le z)) ou usamos valores conhecidos: por exemplo \Phi(1,22)\approx 0,8888 e \Phi(1,28)\approx 0,8997, \Phi(1,2816)\approx 0,9000. Vou mostrar passo a passo como usar isso nas partes (a), (b) e (c).

Passo 3

Resolvendo (a): probabilidade de uma ação custar, no mínimo, \$40. Em termos probabilísticos queremos P(X\ge 40). Padronizamos:
z=\frac{40-\mu}{\sigma}=\frac{40-30}{8,20}=\frac{10}{8,20}.
Agora calculamos essa divisão. Fazendo a conta:
\frac{10}{8,20}\approx 1,219512\approx 1,22.
Então z\approx 1,22. A probabilidade pedida é
P(X\ge 40)=P\!\left(Z\ge 1,22\right)=1-\Phi(1,22).
Consultando a tabela da normal padrão encontramos \Phi(1,22)\approx 0,8888. Portanto
P(X\ge 40)=1-0,8888=0,1112.
Interpretação final: a probabilidade é aproximadamente 0,1112, ou seja 11,12\%. (Se na prova você tiver tabela, procure o valor de \Phi(1,22); se usar calculadora, peça o complemento.)

Passo 4

Resolvendo (b): probabilidade de uma ação custar no máximo \$20. Queremos P(X\le 20). Padronizando:
z=\frac{20-\mu}{\sigma}=\frac{20-30}{8,20}=\frac{-10}{8,20}\approx -1,219512\approx -1,22.
Então z\approx -1,22. Usamos a simetria da normal padrão: \Phi(-1,22)=1-\Phi(1,22). Como já sabemos \Phi(1,22)\approx 0,8888, temos
P(X\le 20)=\Phi(-1,22)=1-0,8888=0,1112.
Interpretando: a probabilidade é novamente aproximadamente 0,1112 ou 11,12\%. Faz sentido intuitivamente: 20 está a mesma distância de 30 que 40, só no lado oposto, então as probabilidades simétricas coincidem.

Passo 5

Resolvendo (c): preço para estar entre os 10\% maiores. Isso significa encontrar x tal que P(X\ge x)=0,10. Em termos de distribuição acumulada, queremos P(X\le x)=0,90. Em Z:
\Phi(z)=0,90,
onde z=\dfrac{x-\mu}{\sigma}. Procurando na tabela inversa, o valor de z que dá \Phi(z)=0,90 é aproximadamente z\approx 1,2816 (muitas tabelas arredondam para 1,28). Agora despadronizamos para achar x:
x=\mu+z\sigma=30+1,2816\cdot 8,20.
Fazendo a multiplicação:
1,2816\cdot 8,20 \approx 10,5029.
Somando:
x\approx 30+10,5029=40,5029.
Arredondando para centavos: x\approx \$40,50. Conclusão: uma empresa precisa ter preço de cerca de \$40,50 ou mais para estar entre os 10\% maiores.

Resposta

(a) 0,1112 (aproximadamente 11,12\%)
(b) 0,1112 (aproximadamente 11,12\%)
(c) \text{US\$ }40,50 (aproximadamente)

Exercícios relacionados