A média de preço das ações das empresas que compõem a S&P 500 é US$30 , e o desvio padrăo é US$ 8,20 (Business Week, edição especial anual, primavera de 2003). Suponha que os preços das ações se distribuam normalmente.
a. Qual é a probabilidade de uma empresa ter um preço de, no mínimo, US
40$ para suas ações?
b. Qual é a probabilidade de uma empresa ter um preço não superior a US
20$ para suas ações?
c. Qual deve ser o preço das ações para que a empresa seja inclứda entre as
maiores?
a. Qual é a probabilidade de uma empresa ter um preço de, no mínimo, US
b. Qual é a probabilidade de uma empresa ter um preço não superior a US
c. Qual deve ser o preço das ações para que a empresa seja inclứda entre as
Passo 1
O enunciado fornece que a média dos preços das ações é
(US$) e o desvio padrão é
(US$). Também diz para supor que os preços seguem uma distribuição normal. As perguntas são:
a. Qual é a probabilidade de uma ação custar, no mínimo, ?
b. Qual é a probabilidade de uma ação custar no máximo ?
c. Qual deve ser o preço para que a empresa esteja entre os maiores (ou seja, no percentil
)?
a. Qual é a probabilidade de uma ação custar, no mínimo,
b. Qual é a probabilidade de uma ação custar no máximo
c. Qual deve ser o preço para que a empresa esteja entre os
Passo 2
Conceito e ferramenta que vamos usar (explicação didática). Quando uma variável aleatória
é normal com média
e desvio padrão
, escrevemos
. Para calcular probabilidades usamos a padronização: transformamos
numa variável normal padrão
com média
e desvio
. A fórmula de padronização é
Aqui
é o valor de preço que queremos analisar,
é a média (a “posição” central) e
mede a dispersão (quão espalhados estão os preços). Depois de transformar, consultamos a tabela da normal padrão (função de distribuição acumulada
) ou usamos valores conhecidos: por exemplo
e
,
. Vou mostrar passo a passo como usar isso nas partes (a), (b) e (c).
Passo 3
Resolvendo (a): probabilidade de uma ação custar, no mínimo,
. Em termos probabilísticos queremos
. Padronizamos:
Agora calculamos essa divisão. Fazendo a conta:
Então
. A probabilidade pedida é
Consultando a tabela da normal padrão encontramos
. Portanto
Interpretação final: a probabilidade é aproximadamente
, ou seja
. (Se na prova você tiver tabela, procure o valor de
; se usar calculadora, peça o complemento.)
Passo 4
Resolvendo (b): probabilidade de uma ação custar no máximo
. Queremos
. Padronizando:
Então
. Usamos a simetria da normal padrão:
. Como já sabemos
, temos
Interpretando: a probabilidade é novamente aproximadamente
ou
. Faz sentido intuitivamente:
está a mesma distância de
que
, só no lado oposto, então as probabilidades simétricas coincidem.
Passo 5
Resolvendo (c): preço para estar entre os
maiores. Isso significa encontrar
tal que
. Em termos de distribuição acumulada, queremos
. Em
:
onde
. Procurando na tabela inversa, o valor de
que dá
é aproximadamente
(muitas tabelas arredondam para
). Agora despadronizamos para achar
:
Fazendo a multiplicação:
Somando:
Arredondando para centavos:
. Conclusão: uma empresa precisa ter preço de cerca de
ou mais para estar entre os
maiores.
Resposta
(a)
(aproximadamente
)
(b) (aproximadamente
)
(c) (aproximadamente)
(b)
(c)