Um nutricionista deseja verificar se a média do consumo diário de calorias de um grupo de adultos é inferior a 2200 kcal . Ele coleta uma amostra de 10 adultos e obtém:
Média amostral: 2130 kcal
Desvio padrão amostral: 150 kcal
Admita que a distribuição do consumo calórico é aproximadamente normal.
Faça o teste de hipótese com nível de significância 1% (repare que é um teste unilateral, semelhante ao que vimos no exemplo da aula).
Admita que a distribuição do consumo calórico é aproximadamente normal.
Passo 1
O que o enunciado pede e quais dados foram fornecidos:
- Pergunta: testar se a média do consumo diário de calorias do grupo é inferior a
kcal, usando nível de significância . - Tipo de teste: unilateral (esquerda) — verificar se a média é menor que
. - Dados da amostra:
, média amostral kcal, desvio padrão amostral kcal. - Informação adicional do enunciado: a distribuição do consumo é aproximadamente normal.
Passo 2
Formular as hipóteses de teste (de forma clara e objetiva):
- Hipótese nula:
- Hipótese alternativa (unilateral à esquerda):
Aqui
é a média verdadeira do consumo diário de calorias no grupo de adultos.
Passo 3
Decidir qual teste usar e por quê (explicação didática):
- Temos amostra pequena (
) e o desvio padrão populacional é desconhecido. - Quando
é desconhecido e a amostra vem de uma população aproximadamente normal, usamos o teste t de Student para a média. - Intuição simples: substituímos
por (desvio amostral) e isso faz a estatística de teste seguir a distribuição com graus de liberdade, em vez da normal padrão.
Passo 4
Escrever a estatística de teste e explicar cada termo:
- Estatística de teste (t):
onde:
-
é a média amostral ( kcal), -
é o valor da média sob ( kcal), -
é o desvio padrão amostral ( kcal), -
é o tamanho da amostra ( ), -
é o erro padrão da média (medida de quanto a média amostral costuma variar de uma amostra para outra). - Graus de liberdade para a distribuição
: .
Passo 5
Calcular numericamente o erro padrão e a estatística
, passo a passo:
- Primeiro calcule
:
- Erro padrão:
- Diferença entre média amostral e valor sob
:
- Estatística
:
Portanto a estatística de teste obtida é
.
Passo 6
Determinar a região crítica (valor crítico) e a regra de decisão:
- Nível de significância:
. Como o teste é unilateral à esquerda, a região de rejeição é onde é o quantil esquerdo da com . - Procurando em tabela de
(ou usando conhecimento padrão): o quantil correspondente a probabilidade acumulada para é aproximadamente (isto é, ). - Regra de decisão: rejeitar
se .
Passo 7
Comparar estatística com o valor crítico e tomar decisão:
- Temos
. - Comparando com o crítico:
, ou seja, não cai na região de rejeição. - Conclusão: com
não rejeitamos .
Passo 8
Calcular (ou estimar) o p‑value e interpretar:
- O p‑value para um teste unilateral à esquerda é
. Com e , usando tabela de e interpolação, obtemos aproximadamente . - Interpretação:
significa que, se a média real fosse , a probabilidade de observar uma média tão baixa quanto a amostral (ou mais baixa) é cerca de . Isso é bem maior que , então não há evidência suficiente para afirmar que a média é menor que ao nível de .
Passo 9
Interpretação final em linguagem simples e incentivo:
- Em termos práticos: a amostra sugere uma média amostral menor que
( ), mas a diferença não é grande o suficiente, dado o tamanho da amostra e a variabilidade observada, para concluir com alto nível de confiança ( ) que a média populacional é realmente menor que kcal. - Dica para prova: com amostras pequenas e
desconhecido, sempre use a estatística com ; calcule o erro padrão , obtenha e compare com crítico para o nível e sentido do teste. Se o p‑value for maior que , não rejeite . Você está indo bem — ficou claro passo a passo!
Resposta
Não rejeitar
ao nível
. Estatística
, valor crítico
,
.