Um nutricionista deseja verificar se a média do consumo diário de calorias de um grupo de adultos é inferior a 2200 kcal . Ele coleta uma amostra de 10 adultos e obtém:
Média amostral: 2130 kcal
Desvio padrão amostral: 150 kcal
Admita que a distribuição do consumo calórico é aproximadamente normal.
Faça o teste de hipótese com nível de significância 1% (repare que é um teste unilateral, semelhante ao que vimos no exemplo da aula).

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados foram fornecidos:
  • Pergunta: testar se a média do consumo diário de calorias do grupo é inferior a 2200 kcal, usando nível de significância \alpha=0{,}01.
  • Tipo de teste: unilateral (esquerda) — verificar se a média é menor que 2200.
  • Dados da amostra: n=10, média amostral \bar{x}=2130 kcal, desvio padrão amostral s=150 kcal.
  • Informação adicional do enunciado: a distribuição do consumo é aproximadamente normal.

Passo 2

Formular as hipóteses de teste (de forma clara e objetiva):
  • Hipótese nula:
H_0: \mu = 2200
  • Hipótese alternativa (unilateral à esquerda):
H_1: \mu < 2200
Aqui \mu é a média verdadeira do consumo diário de calorias no grupo de adultos.

Passo 3

Decidir qual teste usar e por quê (explicação didática):
  • Temos amostra pequena ( n=10) e o desvio padrão populacional \sigma é desconhecido.
  • Quando \sigma é desconhecido e a amostra vem de uma população aproximadamente normal, usamos o teste t de Student para a média.
  • Intuição simples: substituímos \sigma por s (desvio amostral) e isso faz a estatística de teste seguir a distribuição t com n-1 graus de liberdade, em vez da normal padrão.

Passo 4

Escrever a estatística de teste e explicar cada termo:
  • Estatística de teste (t):
t=\frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}
onde:
  • \bar{x} é a média amostral ( 2130 kcal),
  • \mu_0 é o valor da média sob H_0 ( 2200 kcal),
  • s é o desvio padrão amostral ( 150 kcal),
  • n é o tamanho da amostra ( 10),
  • s/\sqrt{n} é o erro padrão da média (medida de quanto a média amostral costuma variar de uma amostra para outra).
  • Graus de liberdade para a distribuição t: df = n-1 = 9.

Passo 5

Calcular numericamente o erro padrão e a estatística t, passo a passo:
  • Primeiro calcule \sqrt{n}:
\sqrt{10}\approx 3{,}1623
  • Erro padrão:
\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{150}{\sqrt{10}}=\frac{150}{3{,}1623}\approx 47{,}434
  • Diferença entre média amostral e valor sob H_0:
\bar{x}-\mu_0 = 2130-2200 = -70
  • Estatística t:
t=\frac{-70}{47{,}434}\approx -1{,}476
Portanto a estatística de teste obtida é t\approx -1{,}476.

Passo 6

Determinar a região crítica (valor crítico) e a regra de decisão:
  • Nível de significância: \alpha=0{,}01. Como o teste é unilateral à esquerda, a região de rejeição é t \le t_{\alpha,\,df} onde t_{\alpha,\,df} é o quantil esquerdo da t com df=9.
  • Procurando em tabela de t (ou usando conhecimento padrão): o quantil correspondente a probabilidade acumulada 0{,}01 para df=9 é aproximadamente -2{,}821 (isto é, t_{0{,}01,\,9}\approx -2{,}821).
  • Regra de decisão: rejeitar H_0 se t \le -2{,}821.

Passo 7

Comparar estatística com o valor crítico e tomar decisão:
  • Temos t\approx -1{,}476.
  • Comparando com o crítico: -1{,}476 > -2{,}821, ou seja, t não cai na região de rejeição.
  • Conclusão: com \alpha=0{,}01 não rejeitamos H_0.

Passo 8

Calcular (ou estimar) o p‑value e interpretar:
  • O p‑value para um teste unilateral à esquerda é P(T_{9} \le t_{\text{obs}}). Com t_{\text{obs}}=-1{,}476 e df=9, usando tabela de t e interpolação, obtemos aproximadamente p\text{-value}\approx 0{,}09.
  • Interpretação: p\text{-value}\approx 0{,}09 significa que, se a média real fosse 2200, a probabilidade de observar uma média tão baixa quanto a amostral (ou mais baixa) é cerca de 9\%. Isso é bem maior que \alpha=1\%, então não há evidência suficiente para afirmar que a média é menor que 2200 ao nível de 1\%.

Passo 9

Interpretação final em linguagem simples e incentivo:
  • Em termos práticos: a amostra sugere uma média amostral menor que 2200 ( 2130), mas a diferença não é grande o suficiente, dado o tamanho da amostra e a variabilidade observada, para concluir com alto nível de confiança ( 1\%) que a média populacional é realmente menor que 2200 kcal.
  • Dica para prova: com amostras pequenas e \sigma desconhecido, sempre use a estatística t com df=n-1; calcule o erro padrão s/\sqrt{n}, obtenha t e compare com t crítico para o nível e sentido do teste. Se o p‑value for maior que \alpha, não rejeite H_0. Você está indo bem — ficou claro passo a passo!

Resposta

Não rejeitar H_0 ao nível \alpha=0{,}01. Estatística t\approx -1{,}476, valor crítico -2{,}821, p\text{-value}\approx 0{,}09.

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