Uma indústria afirma que o peso médio de uma barra de sabão que produz é de 250 gramas. Um fiscal suspeita que o valor real seja diferente e coleta uma amostra aleatória de 36 barras, obtendo média amostral de 246 gramas. Sabe-se que o desvio padrão populacional é conhecido e vale 12 gramas. Formule a hipótese HO e realize o teste de hipótese, com nível de significância de 5%.

Passo 1

O enunciado pede que a gente verifique se a afirmação da indústria sobre o peso médio das barras de sabão é compatível com a amostra. Informações dadas:
\mu_0 = 250 gramas (valor afirmado pela indústria),
tamanho da amostra n = 36,
média amostral \bar{x} = 246 gramas,
desvio padrão populacional conhecido \sigma = 12 gramas,
nível de significância \alpha = 0{,}05.
A pergunta implícita é: formular as hipóteses nula e alternativa e realizar o teste de hipótese com \alpha = 0{,}05 (o fiscal suspeita que o valor real seja diferente — ou seja, alternativa bilateral).

Passo 2

Formular as hipóteses (escrevendo exatamente o que cada uma significa):
H_0:\\ \mu = 250
H_1:\\ \mu \neq 250
Aqui \mu é o peso médio real (desconhecido) das barras produzidas. H_0 diz que o peso médio é o que a indústria afirma; H_1 diz que é diferente (pode ser maior ou menor).

Passo 3

Escolher a estatística de teste e justificar a forma usada:
Quando o desvio padrão populacional \sigma é conhecido, a estatística apropriada para testar a média é a estatística z dada por
z=\frac{\bar{x}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}.
Explicando cada símbolo:
\bar{x} é a média amostral ( 246),
\mu_0 é o valor hipotético sob H_0 ( 250),
\sigma é o desvio padrão populacional conhecido ( 12),
n é o tamanho da amostra ( 36).
Motivo: por T.L.C. (ou porque assumimos normalidade/população), a distribuição de \bar{X} é aproximadamente normal com média \mu e desvio padrão \sigma/\sqrt{n}, portanto z segue a normal padrão sob H_0.

Passo 4

Calcular o erro padrão e a estatística z:
Erro padrão:
\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{12}{\sqrt{36}}=\frac{12}{6}=2.
Estatística de teste:
z=\frac{246-250}{2}=\frac{-4}{2}=-2.

Passo 5

Decisão pelo critério crítico (teste bilateral):
Para \alpha=0{,}05 e teste bilateral, os valores críticos da normal padrão são aproximadamente \pm 1{,}96. Regra: rejeitar H_0 se |z|>1{,}96.
Aqui |z|=2{,}0>1{,}96, logo \em razão do critério crítico rejeitamos H_0.

Passo 6

Cálculo do valor-p (para interpretação quantitativa):
O valor-p bilateral é 2 vezes a probabilidade de obter um z tão extremo quanto -2 na cauda esquerda:
\text{p-valor}=2\cdot P(Z\le -2)=2\cdot 0{,}0228\approx 0{,}0456,
usando a tabela da normal padrão ( P(Z\le -2)\approx 0{,}0228). Como \text{p-valor}\approx 0{,}0456<\alpha=0{,}05, isso confirma a decisão de rejeitar H_0.

Passo 7

Interpretação final em linguagem simples e motivadora:
Rejeitar H_0 significa que, ao nível de significância de 5\%, há evidência amostral para concluir que o peso médio real das barras difere de \,250 gramas. A média amostral ( 246 g) é menor, então os dados sugerem que, provavelmente, o peso médio real é menor que o afirmado — mas o teste foi bilateral, então tecnicamente concluímos apenas que é diferente. Você mandou bem chegando até aqui — isso é exatamente o que o fiscal precisava para justificar suspeita.

Resposta

H_0:\\ \mu=250
H_1:\\ \mu\neq250
Estatística de teste: z=-2
Regra crítica: rejeitar H_0 se |z|>1{,}96. Decisão: rejeita-se H_0 ao nível \alpha=0{,}05.
\text{p-valor}\approx 0{,}0456

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