Uma indústria afirma que o peso médio de uma barra de sabão que produz é de 250 gramas. Um fiscal suspeita que o valor real seja diferente e coleta uma amostra aleatória de 36 barras, obtendo média amostral de 246 gramas. Sabe-se que o desvio padrão populacional é conhecido e vale 12 gramas. Formule a hipótese HO e realize o teste de hipótese, com nível de significância de 5%.
Passo 1
O enunciado pede que a gente verifique se a afirmação da indústria sobre o peso médio das barras de sabão é compatível com a amostra. Informações dadas:
gramas (valor afirmado pela indústria),
tamanho da amostra ,
média amostral gramas,
desvio padrão populacional conhecido gramas,
nível de significância .
A pergunta implícita é: formular as hipóteses nula e alternativa e realizar o teste de hipótese com (o fiscal suspeita que o valor real seja diferente — ou seja, alternativa bilateral).
tamanho da amostra
média amostral
desvio padrão populacional conhecido
nível de significância
A pergunta implícita é: formular as hipóteses nula e alternativa e realizar o teste de hipótese com
Passo 2
Formular as hipóteses (escrevendo exatamente o que cada uma significa):
Aqui
é o peso médio real (desconhecido) das barras produzidas.
diz que o peso médio é o que a indústria afirma;
diz que é diferente (pode ser maior ou menor).
Passo 3
Escolher a estatística de teste e justificar a forma usada:
Quando o desvio padrão populacional é conhecido, a estatística apropriada para testar a média é a estatística
dada por
Quando o desvio padrão populacional
Explicando cada símbolo:
é a média amostral (
),
é o valor hipotético sob
(
),
é o desvio padrão populacional conhecido (
),
é o tamanho da amostra (
).
Motivo: por T.L.C. (ou porque assumimos normalidade/população), a distribuição de é aproximadamente normal com média
e desvio padrão
, portanto
segue a normal padrão sob
.
Motivo: por T.L.C. (ou porque assumimos normalidade/população), a distribuição de
Passo 4
Calcular o erro padrão e a estatística
:
Erro padrão:
Erro padrão:
Estatística de teste:
Passo 5
Decisão pelo critério crítico (teste bilateral):
Para e teste bilateral, os valores críticos da normal padrão são aproximadamente
. Regra: rejeitar
se
.
Aqui , logo \em razão do critério crítico rejeitamos
.
Para
Aqui
Passo 6
Cálculo do valor-p (para interpretação quantitativa):
O valor-p bilateral é vezes a probabilidade de obter um
tão extremo quanto
na cauda esquerda:
O valor-p bilateral é
usando a tabela da normal padrão (
). Como
, isso confirma a decisão de rejeitar
.
Passo 7
Interpretação final em linguagem simples e motivadora:
Rejeitar significa que, ao nível de significância de
, há evidência amostral para concluir que o peso médio real das barras difere de
gramas. A média amostral (
g) é menor, então os dados sugerem que, provavelmente, o peso médio real é menor que o afirmado — mas o teste foi bilateral, então tecnicamente concluímos apenas que é diferente. Você mandou bem chegando até aqui — isso é exatamente o que o fiscal precisava para justificar suspeita.
Rejeitar
Resposta
Estatística de teste:
Regra crítica: rejeitar