A média ( x ) de quatro determinações do conteúdo de cobre de uma amostra de suplemento mineral foi 8,27 \% com desvio padrão \mathrm{s}=0,17 \%. Calcular o limite de confiança, a 95 \%, do verdadeiro valor. Se o número de determinações fosse 12, qual seria o valor do LC? O que se pode inferir ao comparar os dois valores?

Passo 1

Dados fornecidos pelo enunciado:
  • Média amostral \bar{x}=8{,}27\%.
  • Desvio padrão amostral s=0{,}17\%.
  • Primeiro caso: tamanho da amostra n=4.
  • Segundo caso: tamanho da amostra n=12.
Perguntas do enunciado:
  1. Calcular o limite de confiança (intervalo de confiança) de 95\% para o verdadeiro valor da média quando n=4.
  2. Calcular o mesmo intervalo quando n=12.
  3. O que se pode inferir ao comparar os dois intervalos obtidos?

Passo 2

Fórmula que vamos usar e por quê:
  • Quando a variância populacional é desconhecida (usamos s) e a amostra é pequena, o intervalo de confiança para a média é dado pela distribuição t de Student:
\bar{x}\pm t_{1-\alpha/2,\;n-1}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}.
Explicando cada termo:
  • \bar{x} é a média amostral (a estimativa central).
  • t_{1-\alpha/2,\;n-1} é o quantil da distribuição t com n-1 graus de liberdade; para um intervalo de 95\% temos \alpha=0{,}05 e usamos t_{0{,}975,\;n-1}.
  • s é o desvio padrão amostral (estimativa do desvio padrão populacional).
  • \sqrt{n} é a raiz quadrada do tamanho da amostra; dividir s por \sqrt{n} dá o erro padrão da média, isto é, a incerteza da média amostral.
  • O produto t\cdot \dfrac{s}{\sqrt{n}} é a margem de erro (metade da largura do intervalo).

Passo 3

Por que usamos t e não a normal z?
  • Usamos t quando a variância populacional é desconhecida (é o caso: só temos s) e especialmente quando n é pequeno, porque o t leva em conta a incerteza adicional da estimação do desvio. Para n grandes o t tende para a normal z, mas para n=4 é obrigatório usar t.
  • Pressuposição importante: a amostra provém de uma população aproximadamente normal. Se não for, para n grande (p.ex. n=12 não é muito grande, mas já ajuda), o Teorema Central do Limite melhora as coisas; ainda assim, para n=4 é preciso cuidado com normalidade.

Passo 4

Cálculo do intervalo para n=4:
  • Graus de liberdade: df=n-1=3.
  • Valor crítico t_{0{,}975,3}: consultando tabela de t (ou calculadora estatística) obtemos t_{0{,}975,3}\approx 3{,}182.
  • Erro padrão da média:
\text{SE}=\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{0{,}17\%}{\sqrt{4}}=\frac{0{,}17\%}{2}=0{,}085\%.
  • Margem de erro:
\text{ME}=t_{0{,}975,3}\cdot\text{SE}\approx 3{,}182\cdot 0{,}085\%=0{,}27047\%\approx 0{,}27\%.
  • Intervalo de confiança 95\%:
\bar{x}\pm \text{ME}=8{,}27\%\pm 0{,}27047\%
ou seja os extremos:
8{,}27\%-0{,}27047\%=7{,}99953\%\approx 8{,}00\%,
8{,}27\%+0{,}27047\%=8{,}54047\%\approx 8{,}54\%.

Passo 5

Cálculo do intervalo para n=12:
  • Graus de liberdade: df=n-1=11.
  • Valor crítico t_{0{,}975,11}: consultando tabela de t obtemos t_{0{,}975,11}\approx 2{,}201.
  • Erro padrão da média:
\text{SE}=\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{0{,}17\%}{\sqrt{12}}=\frac{0{,}17\%}{3{,}4641}\approx 0{,}04907\%.
  • Margem de erro:
\text{ME}=t_{0{,}975,11}\cdot\text{SE}\approx 2{,}201\cdot 0{,}04907\%\approx 0{,}10797\%\approx 0{,}108\%.
  • Intervalo de confiança 95\%:
\bar{x}\pm \text{ME}=8{,}27\%\pm 0{,}10797\%
ou seja os extremos:
8{,}27\%-0{,}10797\%\approx 8{,}162\%\quad\text{e}\quad 8{,}27\%+0{,}10797\%\approx 8{,}378\%.
Arredondando razoavelmente: [8{,}16\%,\,8{,}38\%].

Passo 6

Comparação e interpretação dos dois intervalos:
  • Intervalário para n=4: aproximadamente [8{,}00\%,\,8{,}54\%]. Largura ≈ 0{,}5409\%.
  • Intervalário para n=12: aproximadamente [8{,}16\%,\,8{,}38\%]. Largura ≈ 0{,}2160\%.
  • O intervalo com n=12 é bem mais estreito (aproximadamente 2{,}5 vezes mais estreito), o que significa que a estimativa da média fica muito mais precisa quando aumentamos o número de determinações. A média pontual \bar{x}=8{,}27\% não muda, mas a incerteza em torno dela diminui com mais observações.
  • Observação prática: se houver custo por determinação, balanceie custo vs precisão; aqui, aumentar de 4 para 12 determinações melhora bastante a precisão do intervalo.

Passo 7

Observações finais e condições:
  • Esses intervalos assumem que a amostra é representativa e que a distribuição da variável é aproximadamente normal (essencial para n pequeno). Se essa condição não for aceitável, resultados podem não ser confiáveis.
  • Em provas, sempre escrever a fórmula do IC com t, indicar df, consultar a tabela de t e calcular SE e ME passo a passo exatamente como fizemos.

Resposta

IC_{95\%} para n=4:\;[8{,}00\%,\;8{,}54\%]
IC_{95\%} para n=12:\;[8{,}16\%,\;8{,}38\%]
Comparação: o intervalo com n=12 é muito mais estreito (≈ 0{,}216\% de largura) do que com n=4 (≈ 0{,}541\%), portanto a estimativa da média é mais precisa quando aumentamos o número de determinações.

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