A média ( x ) de quatro determinações do conteúdo de cobre de uma amostra de suplemento mineral foi
com desvio padrão
. Calcular o limite de confiança, a
, do verdadeiro valor. Se o número de determinações fosse 12, qual seria o valor do LC? O que se pode inferir ao comparar os dois valores?
Passo 1
Dados fornecidos pelo enunciado:
- Média amostral
. - Desvio padrão amostral
. - Primeiro caso: tamanho da amostra
. - Segundo caso: tamanho da amostra
.
Perguntas do enunciado:
- Calcular o limite de confiança (intervalo de confiança) de
para o verdadeiro valor da média quando . - Calcular o mesmo intervalo quando
. - O que se pode inferir ao comparar os dois intervalos obtidos?
Passo 2
Fórmula que vamos usar e por quê:
- Quando a variância populacional é desconhecida (usamos
) e a amostra é pequena, o intervalo de confiança para a média é dado pela distribuição de Student:
Explicando cada termo:
-
é a média amostral (a estimativa central). -
é o quantil da distribuição com graus de liberdade; para um intervalo de temos e usamos . -
é o desvio padrão amostral (estimativa do desvio padrão populacional). -
é a raiz quadrada do tamanho da amostra; dividir por dá o erro padrão da média, isto é, a incerteza da média amostral. - O produto
é a margem de erro (metade da largura do intervalo).
Passo 3
Por que usamos
e não a normal
?
- Usamos
quando a variância populacional é desconhecida (é o caso: só temos ) e especialmente quando é pequeno, porque o leva em conta a incerteza adicional da estimação do desvio. Para grandes o tende para a normal , mas para é obrigatório usar . - Pressuposição importante: a amostra provém de uma população aproximadamente normal. Se não for, para
grande (p.ex. não é muito grande, mas já ajuda), o Teorema Central do Limite melhora as coisas; ainda assim, para é preciso cuidado com normalidade.
Passo 4
Cálculo do intervalo para
:
- Graus de liberdade:
. - Valor crítico
: consultando tabela de (ou calculadora estatística) obtemos . - Erro padrão da média:
- Margem de erro:
- Intervalo de confiança
:
ou seja os extremos:
Passo 5
Cálculo do intervalo para
:
- Graus de liberdade:
. - Valor crítico
: consultando tabela de obtemos . - Erro padrão da média:
- Margem de erro:
- Intervalo de confiança
:
ou seja os extremos:
Arredondando razoavelmente:
.
Passo 6
Comparação e interpretação dos dois intervalos:
- Intervalário para
: aproximadamente . Largura ≈ . - Intervalário para
: aproximadamente . Largura ≈ . - O intervalo com
é bem mais estreito (aproximadamente vezes mais estreito), o que significa que a estimativa da média fica muito mais precisa quando aumentamos o número de determinações. A média pontual não muda, mas a incerteza em torno dela diminui com mais observações. - Observação prática: se houver custo por determinação, balanceie custo vs precisão; aqui, aumentar de 4 para 12 determinações melhora bastante a precisão do intervalo.
Passo 7
Observações finais e condições:
- Esses intervalos assumem que a amostra é representativa e que a distribuição da variável é aproximadamente normal (essencial para
pequeno). Se essa condição não for aceitável, resultados podem não ser confiáveis. - Em provas, sempre escrever a fórmula do IC com
, indicar , consultar a tabela de e calcular SE e ME passo a passo exatamente como fizemos.
Resposta
Comparação: o intervalo com