Supondo-se que o desvio padrão de uma simples leitura na balança analítica é \pm 0,0001 \mathrm{~g}, calcular o desvio padrão da pesagem de uma substância feita nesta balança.

Passo 1

O enunciado dá a informação de que o desvio padrão de uma simples leitura na balança analítica é \pm 0,0001\\ \mathrm{g}.
A pergunta é: calcular o desvio padrão da pesagem de uma substância feita nesta balança.
Observação importante (informação necessária para resolver): para pesar uma substância normalmente fazem-se duas leituras independentes — a massa do recipiente + substância (bruto) e a massa do recipiente vazio (tara) — e a massa da substância é a diferença entre essas duas leituras. Vou usar essa situação padrão para calcular o desvio padrão da pesagem.

Passo 2

Conceito chave (passo-a-passo didático): quando uma grandeza é obtida como soma ou diferença de medições independentes, as variâncias (os quadrados dos desvios padrões) se somam.
Explicando devagar: se X e Y são duas medições independentes com desvios padrões \sigma_X e \sigma_Y, a variância de X\pm Y é
\operatorname{Var}(X\pm Y)=\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y).
Aqui \operatorname{Var}(X)=\sigma_X^2 e \operatorname{Var}(Y)=\sigma_Y^2. A independência faz com que o termo de covariância seja zero, por isso apenas somamos as variâncias. O desvio padrão do resultado é a raiz quadrada dessa soma:
\sigma_{X\pm Y}=\sqrt{\sigma_X^2+\sigma_Y^2}.
Essa fórmula vale tanto para soma quanto para diferença.

Passo 3

Aplicando ao problema: cada leitura na balança tem desvio padrão
\sigma_{\text{leitura}}=0,0001\\ \mathrm{g}.
Para obter a massa da substância fazemos a diferença entre duas leituras independentes (bruto menos tara). Logo a variância da massa da substância é
\operatorname{Var}(\text{massa})=\sigma_{\text{leitura}}^2+\sigma_{\text{leitura}}^2=2\,\sigma_{\text{leitura}}^2.

Passo 4

Calculemos numericamente. Primeiro o quadrado de uma leitura:
\sigma_{\text{leitura}}^2=(0,0001)^2=1\times 10^{-8}.
Portanto
\operatorname{Var}(\text{massa})=2\times 1\times 10^{-8}=2\times 10^{-8}.
O desvio padrão da massa é a raiz quadrada disso:
\sigma_{\text{massa}}=\sqrt{2\times 10^{-8}}=\sqrt{2}\times 10^{-4}.

Passo 5

Avaliação numérica e arredondamento prático: \sqrt{2}\approx 1,41421356, então
\sigma_{\text{massa}}\approx 1,41421356\times 10^{-4}\\ \mathrm{g}\approx 0,0001414\\ \mathrm{g}.
Em notação compatível com a precisão dada pela balança, é comum arredondar para duas casas significativas no último dígito mostrado:
\sigma_{\text{massa}}\approx 0,00014\\ \mathrm{g}.

Passo 6

Comentário didático extra (útil na prova): se em vez de duas leituras você fizesse n leituras independentes iguais e usasse a média, o desvio padrão da média seria
\sigma_{\text{média}}=\frac{\sigma_{\text{leitura}}}{\sqrt{n}}.é
Exemplo rápido: com n=4 leituras, \sigma_{\text{média}}=0,0001/2=0,00005\\ \mathrm{g}é. Isso mostra como repetir medições reduz a incerteza da média.

Resposta

0,00014\\ \mathrm{g}

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