Duas cargas pontuais, de valores iguais a q, estão posicionadas em z= \pm d / 2. (a) Encontre o campo elétrico em qualquer ponto sobre o eixo z; (b) encontre o campo elétrico em qualquer ponto sobre o eixo x; (c) repita (a) e (b) se a carga localizada em z=-d / 2 possuir valor -q em vez de +q.

Passo 1

O enunciado dá duas cargas pontuais com valores iguais a q colocadas em z=\pm d/2. Ele pede três coisas:
  • (a) Encontrar o campo elétrico em qualquer ponto sobre o eixo z (isto é, em pontos (0,0,z)) quando as duas cargas valem +q cada.
  • (b) Encontrar o campo elétrico em qualquer ponto sobre o eixo x (isto é, em pontos (x,0,0)) quando as duas cargas valem +q cada.
  • (c) Repetir (a) e (b) no caso em que a carga em z=-d/2 vale -q (ou seja, temos +q em z=+d/2 e -q em z=-d/2).
Informações relevantes dadas:
  • As posições das cargas são (0,0,+d/2) e (0,0,-d/2).
  • Valores das cargas: inicialmente q e q; no item (c) passam a ser q (em +d/2) e -q (em -d/2).
  • Queremos o campo elétrico \mathbf{E} sobre os eixos z e x, para qualquer ponto desses eixos (exceto nos pontos onde há carga).

Passo 2

Ferramenta principal (fórmula que vamos usar) e explicação didática.
Usaremos a lei de Coulomb em forma vetorial e o princípio da superposição. A forma vetorial do campo elétrico produzido por uma carga pontual q_i localizada em \mathbf{r}_i é:
\mathbf{E}_i(\mathbf{r})=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\,q_i\,\dfrac{\mathbf{r}-\mathbf{r}_i}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_i|^3}.
Aqui:
  • \mathbf{r} é a posição do ponto onde se calcula o campo.
  • \mathbf{r}_i é a posição da carga q_i.
  • 4\pi\epsilon_0 é a constante eletrostática (não precisamos numerar).
  • O vetor \dfrac{\mathbf{r}-\mathbf{r}_i}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_i|} é a direção do campo: aponta de q_i para o ponto se q_i>0 (campo sai da carga), e de ponto para q_i se q_i<0 (campo entra na carga). A magnitude diminui como 1/r^2, mas a forma vetorial usa divisão por |\mathbf{r}-\mathbf{r}_i|^3 quando multiplicada pelo vetor diferença.
Princípio da superposição: o campo total é a soma vetorial dos campos individuais:
\mathbf{E}(\mathbf{r})=\sum_i \mathbf{E}_i(\mathbf{r}).
Vou aplicar essa fórmula componente a componente, explorando simetrias (muitos componentes se cancelam por simetria).

Passo 3

Parte (a): duas cargas iguais +q em z=\pm d/2. Campo em um ponto sobre o eixo z, isto é em \mathbf{r}=(0,0,z).
Definir as posições das cargas:
\mathbf{r}_1=(0,0,+d/2),\qquad \mathbf{r}_2=(0,0,-d/2),
ambas com q_1=q_2=+q.
Aplicando Coulomb para cada carga no ponto \mathbf{r}=(0,0,z):
  • Vetor de \mathbf{r}_1 para o ponto: \mathbf{r}-\mathbf{r}_1=(0,0,z-d/2).
  • Vetor de \mathbf{r}_2 para o ponto: \mathbf{r}-\mathbf{r}_2=(0,0,z+d/2).
Note que ambos vetores apontam ao longo do eixo z, então o campo total terá apenas componente \hat{z} (nenhuma componente x ou y). Usando a fórmula:
\mathbf{E}(\mathbf{r})=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\,q\left(\dfrac{(0,0,z-d/2)}{|z-d/2|^3}+\dfrac{(0,0,z+d/2)}{|z+d/2|^3}\right).
Isolando a direção \hat{z}, escrevemos o componente ao longo de \hat{z}:
E_z(z)=\dfrac{q}{4\pi\epsilon_0}\left(\dfrac{z-d/2}{|z-d/2|^3}+\dfrac{z+d/2}{|z+d/2|^3}\right).
E o campo vetorial é \mathbf{E}=E_z(z)\,\hat{z}.
Essa expressão é válida para qualquer z\neq \pm d/2. Para facilitar uso em prova, é útil escrever as formas simplificadas em intervalos de z:
  • Para z>+d/2 (ponto acima das duas cargas): z-d/2>0 e z+d/2>0, então |z\pm d/2|=z\pm d/2 e
E_z(z)=\dfrac{q}{4\pi\epsilon_0}\!\left(\dfrac{1}{(z-d/2)^2}+\dfrac{1}{(z+d/2)^2}\right),\qquad (z>+d/2).
Direção \hat{z} (campo apontando para +z).
  • Para -d/2<z<+d/2 (ponto entre as cargas): z-d/2<0 e z+d/2>0. Então
E_z(z)=\dfrac{q}{4\pi\epsilon_0}\left(-\dfrac{1}{(d/2-z)^2}+\dfrac{1}{(z+d/2)^2}\right),\qquad (-d/2<z<+d/2).
Aqui os sinais podem fazer com que o campo mude de sinal; por simetria em z=0 temos E_z(0)=0 (as contribuições se cancelam).
  • Para z<-d/2 (ponto abaixo das duas cargas): z-d/2<0 e z+d/2<0, então
E_z(z)= -\dfrac{q}{4\pi\epsilon_0}\!\left(\dfrac{1}{(d/2-z)^2}+\dfrac{1}{(-z-d/2)^2}\right)= -\dfrac{q}{4\pi\epsilon_0}\!\left(\dfrac{1}{(d/2 - z)^2}+\dfrac{1}{(-z - d/2)^2}\right),
ou de maneira mais direta,
E_z(z)= -\dfrac{q}{4\pi\epsilon_0}\!\left(\dfrac{1}{( -z - d/2 )^2}+\dfrac{1}{( -z + d/2 )^2}\right),\qquad (z<-d/2),
o que mostra que o campo aponta para -\hat{z} nessa região.
Comentário físico rápido (chega na prova): no centro z=0 o campo é nulo por simetria; longe das cargas ( |z|\gg d) as duas cargas se comportam como uma carga total 2q localizada praticamente na origem, e E_z\approx\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{2q}{z^2}\hat{z} como verificação assintótica.

Passo 4

Parte (b): mesmas duas cargas +q em z=\pm d/2. Campo em qualquer ponto sobre o eixo x, isto é em \mathbf{r}=(x,0,0).
Calcule vetores de \mathbf{r}-\mathbf{r}_i:
\mathbf{r}-\mathbf{r}_1=(x,0,-d/2),\qquad \mathbf{r}-\mathbf{r}_2=(x,0,+d/2).
As distâncias para as duas cargas têm a mesma magnitude:
r\equiv |\mathbf{r}-\mathbf{r}_1|=|\mathbf{r}-\mathbf{r}_2|=\sqrt{x^2+(d/2)^2}.
Aplicando Coulomb e somando:
\mathbf{E}(\mathbf{r})=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\,q\left(\dfrac{(x,0,-d/2)}{r^3}+\dfrac{(x,0,+d/2)}{r^3}\right).
Some os vetores componente a componente. Note que as componentes na direção z são -d/2 e +d/2, que se cancelam. As componentes x são iguais e somam. Logo:
\mathbf{E}(x,0,0)=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\,q\left(\dfrac{2x}{r^3},\,0,\,0\right).
Substituindo r:
\boxed{\mathbf{E}(x,0,0)=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\dfrac{2q\,x}{\bigl(x^2+(d/2)^2\bigr)^{3/2}}\,\hat{x}.}
Explicação da fórmula: o fator 2 vem da soma das duas componentes x; o denominador em r^3 vem da forma vetorial de Coulomb; o fator x/r que aparece na componente \hat{x} representa a projeção da direção do campo sobre o eixo x.
Verificações: para x>0 o campo aponta para +\hat{x} (afastando-se das cargas positivas). Para x\to\infty o campo se aproxima daquele de uma carga total 2q na origem: \mathbf{E}\sim\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{2q}{x^2}\hat{x}.

Passo 5

Parte (c): agora a carga em z=-d/2 vale -q; a carga em z=+d/2 continua +q. Vamos repetir (a) e (b).
Primeiro, escrevo as cargas e posições:
q_1=+q\\ \text{em}\\ \mathbf{r}_1=(0,0,+d/2),\qquad q_2=-q\\ \text{em}\\ \mathbf{r}_2=(0,0,-d/2).
Usarei a mesma fórmula vetorial de Coulomb:
\mathbf{E}(\mathbf{r})=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\left(q_1\dfrac{\mathbf{r}-\mathbf{r}_1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_1|^3}+q_2\dfrac{\mathbf{r}-\mathbf{r}_2}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_2|^3}\right).

Passo 6

Parte (c) — eixo z: ponto (0,0,z). Substituindo vetores e cargas:
\mathbf{E}(0,0,z)=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\,q\left(\dfrac{(0,0,z-d/2)}{|z-d/2|^3}-\dfrac{(0,0,z+d/2)}{|z+d/2|^3}\right).
Então o componente ao longo de \hat{z} é
\boxed{E_z(z)=\dfrac{q}{4\pi\epsilon_0}\left(\dfrac{z-d/2}{|z-d/2|^3}-\dfrac{z+d/2}{|z+d/2|^3}\right),\quad \mathbf{E}=E_z(z)\,\hat{z}.}
Novamente, essa é a forma geral válida para qualquer z\neq\pm d/2. Podemos escrever formas simplificadas por intervalos:
  • Para z>+d/2:
E_z(z)=\dfrac{q}{4\pi\epsilon_0}\left(\dfrac{1}{(z-d/2)^2}-\dfrac{1}{(z+d/2)^2}\right).
  • Para -d/2<z<+d/2:
E_z(z)=\dfrac{q}{4\pi\epsilon_0}\left(-\dfrac{1}{(d/2-z)^2}-\dfrac{1}{(z+d/2)^2}\right).
  • Para z<-d/2:
E_z(z)=\dfrac{q}{4\pi\epsilon_0}\left(-\dfrac{1}{(d/2-z)^2}+\dfrac{1}{(-z-d/2)^2}\right).
Comentário físico: este arranjo é um dipolo elétrico (cargas ±q separadas por d). No centro z=0 as contribuições não se cancelam: substituindo z=0 na expressão geral obtém-se
E_z(0)=\dfrac{q}{4\pi\epsilon_0}\left(\dfrac{-d/2}{(d/2)^3}-\dfrac{+d/2}{(d/2)^3}\right)=\dfrac{q}{4\pi\epsilon_0}\left(-\dfrac{4}{d^2}-\dfrac{4}{d^2}\right)=-\dfrac{8q}{4\pi\epsilon_0 d^2},
isto é, resultado não nulo, apontando para -\hat{z} (ambas as contribuições somam na direção para o -z no caso +q em +d/2 e -q em -d/2).
Para |z|\gg d (ponto longe), a expansão mostra que o campo decai como 1/z^3 típico de dipolo; uma aproximação útil (opcional para prova) é
E_z(z)\approx \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{2q(d/2)}{z^3}\cdot 3\cos\theta\\ \text{(forma geral de dipolo)}\!,
mas não é necessário detalhar aqui a expansão completa — basta saber que o decaimento é mais rápido que 1/z^2.

Passo 7

Parte (c) — eixo x: ponto (x,0,0). Calcule os vetores:
\mathbf{r}-\mathbf{r}_1=(x,0,-d/2),\qquad \mathbf{r}-\mathbf{r}_2=(x,0,+d/2).
Aplicando Coulomb com q_1=+q,\\ q_2=-q:
\mathbf{E}(x,0,0)=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\,q\left(\dfrac{(x,0,-d/2)}{r^3}-\dfrac{(x,0,+d/2)}{r^3}\right),
onde como antes r=\sqrt{x^2+(d/2)^2}. Subtraindo componentes:
  • As componentes x se cancelam: x - x = 0.
  • As componentes z somam com sinal (pois são -d/2 - (+d/2) = -d).
Logo o campo tem apenas componente z:
\mathbf{E}(x,0,0)=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\,q\left(0,0,-\dfrac{d}{r^3}\right)= -\dfrac{q d}{4\pi\epsilon_0\bigl(x^2+(d/2)^2\bigr)^{3/2}}\,\hat{z}.
Colocando em forma de caixa:
\boxed{\mathbf{E}(x,0,0)=-\dfrac{q d}{4\pi\epsilon_0\bigl(x^2+(d/2)^2\bigr)^{3/2}}\,\hat{z}.}
Interpretação: no caso dipolo as componentes horizontais se anulam por simetria, sobrando um campo ao longo de z que aponta para -\hat{z} quando q>0 (isto é, aponta do +q em +d/2 em direção ao -q em -d/2). Para x\to\infty esse campo decai como 1/x^3, típico do dipolo.

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf{E}(0,0,z)=\dfrac{q}{4\pi\epsilon_0}\left(\dfrac{z-\tfrac{d}{2}}{|z-\tfrac{d}{2}|^3}+\dfrac{z+\tfrac{d}{2}}{|z+\tfrac{d}{2}|^3}\right)\hat{z}.
(b) \displaystyle \mathbf{E}(x,0,0)=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\dfrac{2q\,x}{\bigl(x^2+(\tfrac{d}{2})^2\bigr)^{3/2}}\,\hat{x}.
(c) Para +q em z=+d/2 e -q em z=-d/2:
\displaystyle \mathbf{E}(0,0,z)=\dfrac{q}{4\pi\epsilon_0}\left(\dfrac{z-\tfrac{d}{2}}{|z-\tfrac{d}{2}|^3}-\dfrac{z+\tfrac{d}{2}}{|z+\tfrac{d}{2}|^3}\right)\hat{z}.
\displaystyle \mathbf{E}(x,0,0)=-\dfrac{q d}{4\pi\epsilon_0\bigl(x^2+(\tfrac{d}{2})^2\bigr)^{3/2}}\,\hat{z}.

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