Duas cargas pontuais, de valores iguais a
, estão posicionadas em
. (a) Encontre o campo elétrico em qualquer ponto sobre o eixo
; (b) encontre o campo elétrico em qualquer ponto sobre o eixo
; (c) repita (a) e (b) se a carga localizada em
possuir valor
em vez de
.
Passo 1
O enunciado dá duas cargas pontuais com valores iguais a
colocadas em
. Ele pede três coisas:
- (a) Encontrar o campo elétrico em qualquer ponto sobre o eixo
(isto é, em pontos ) quando as duas cargas valem cada. - (b) Encontrar o campo elétrico em qualquer ponto sobre o eixo
(isto é, em pontos ) quando as duas cargas valem cada. - (c) Repetir (a) e (b) no caso em que a carga em
vale (ou seja, temos em e em ).
Informações relevantes dadas:
- As posições das cargas são
e . - Valores das cargas: inicialmente
e ; no item (c) passam a ser (em ) e (em ). - Queremos o campo elétrico
sobre os eixos e , para qualquer ponto desses eixos (exceto nos pontos onde há carga).
Passo 2
Ferramenta principal (fórmula que vamos usar) e explicação didática.
Usaremos a lei de Coulomb em forma vetorial e o princípio da superposição. A forma vetorial do campo elétrico produzido por uma carga pontual
localizada em
é:
Aqui:
-
é a posição do ponto onde se calcula o campo. -
é a posição da carga . -
é a constante eletrostática (não precisamos numerar). - O vetor
é a direção do campo: aponta de para o ponto se (campo sai da carga), e de ponto para se (campo entra na carga). A magnitude diminui como , mas a forma vetorial usa divisão por quando multiplicada pelo vetor diferença.
Princípio da superposição: o campo total é a soma vetorial dos campos individuais:
Vou aplicar essa fórmula componente a componente, explorando simetrias (muitos componentes se cancelam por simetria).
Passo 3
Parte (a): duas cargas iguais
em
. Campo em um ponto sobre o eixo
, isto é em
.
Definir as posições das cargas:
ambas com
.
Aplicando Coulomb para cada carga no ponto
:
- Vetor de
para o ponto: . - Vetor de
para o ponto: .
Note que ambos vetores apontam ao longo do eixo
, então o campo total terá apenas componente
(nenhuma componente
ou
). Usando a fórmula:
Isolando a direção
, escrevemos o componente ao longo de
:
E o campo vetorial é
.
Essa expressão é válida para qualquer
. Para facilitar uso em prova, é útil escrever as formas simplificadas em intervalos de
:
- Para
(ponto acima das duas cargas): e , então e
Direção
(campo apontando para
).
- Para
(ponto entre as cargas): e . Então
Aqui os sinais podem fazer com que o campo mude de sinal; por simetria em
temos
(as contribuições se cancelam).
- Para
(ponto abaixo das duas cargas): e , então
ou de maneira mais direta,
o que mostra que o campo aponta para
nessa região.
Comentário físico rápido (chega na prova): no centro
o campo é nulo por simetria; longe das cargas (
) as duas cargas se comportam como uma carga total
localizada praticamente na origem, e
como verificação assintótica.
Passo 4
Parte (b): mesmas duas cargas
em
. Campo em qualquer ponto sobre o eixo
, isto é em
.
Calcule vetores de
:
As distâncias para as duas cargas têm a mesma magnitude:
Aplicando Coulomb e somando:
Some os vetores componente a componente. Note que as componentes na direção
são
e
, que se cancelam. As componentes
são iguais e somam. Logo:
Substituindo
:
Explicação da fórmula: o fator
vem da soma das duas componentes
; o denominador em
vem da forma vetorial de Coulomb; o fator
que aparece na componente
representa a projeção da direção do campo sobre o eixo
.
Verificações: para
o campo aponta para
(afastando-se das cargas positivas). Para
o campo se aproxima daquele de uma carga total
na origem:
.
Passo 5
Parte (c): agora a carga em
vale
; a carga em
continua
. Vamos repetir (a) e (b).
Primeiro, escrevo as cargas e posições:
Usarei a mesma fórmula vetorial de Coulomb:
Passo 6
Parte (c) — eixo
: ponto
. Substituindo vetores e cargas:
Então o componente ao longo de
é
Novamente, essa é a forma geral válida para qualquer
. Podemos escrever formas simplificadas por intervalos:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Comentário físico: este arranjo é um dipolo elétrico (cargas ±q separadas por
). No centro
as contribuições não se cancelam: substituindo
na expressão geral obtém-se
isto é, resultado não nulo, apontando para
(ambas as contribuições somam na direção para o
no caso
em
e
em
).
Para
(ponto longe), a expansão mostra que o campo decai como
típico de dipolo; uma aproximação útil (opcional para prova) é
mas não é necessário detalhar aqui a expansão completa — basta saber que o decaimento é mais rápido que
.
Passo 7
Parte (c) — eixo
: ponto
. Calcule os vetores:
Aplicando Coulomb com
:
onde como antes
. Subtraindo componentes:
- As componentes
se cancelam: . - As componentes
somam com sinal (pois são ).
Logo o campo tem apenas componente
:
Colocando em forma de caixa:
Interpretação: no caso dipolo as componentes horizontais se anulam por simetria, sobrando um campo ao longo de
que aponta para
quando
(isto é, aponta do
em
em direção ao
em
). Para
esse campo decai como
, típico do dipolo.
Resposta
(a)
(b)
(c) Para
em
e
em
: