Medidas de uma certa temperatura variam uniformemente entre 3 e 6 graus Celsius. Qual a probabilidade de termos uma temperatura:
Entre 3 e 4 graus Celsius?

Passo 1

O enunciado diz que as medidas da temperatura variam uniformemente entre \,3 e \,6 graus Celsius. A pergunta é: qual a probabilidade de a temperatura estar entre \,3 e \,4 graus Celsius?
Informações relevantes fornecidas:
  • O intervalo total possível é \,[3,6].
  • A distribuição é uniforme nesse intervalo.
  • Queremos a probabilidade do evento \{3 \le X \le 4\}.

Passo 2

Vamos entender o que significa “distribuição uniforme contínua” de forma bem clara e simples.
Definição: se uma variável aleatória X é uniforme no intervalo [a,b], isto quer dizer que todos os valores dentro de [a,b] são igualmente prováveis. A função densidade de probabilidade é constante no intervalo e vale
f_X(x)=\frac{1}{b-a}\quad\text{para }a\le x\le b,
e f_X(x)=0 fora desse intervalo.
Explicação intuitiva: como a densidade é constante, a probabilidade de X cair em qualquer subintervalo depende só do comprimento desse subintervalo. Mais comprimento = mais probabilidade, proporcionalmente.

Passo 3

Fórmula prática para a probabilidade de cair entre dois pontos c e d com a\le c<d\le b:
P(c\le X\le d)=\int_{c}^{d} f_X(x)\,dx.
Substituindo f_X(x)=\dfrac{1}{b-a} obtemos
P(c\le X\le d)=\int_{c}^{d}\frac{1}{b-a}\,dx=\frac{d-c}{b-a}.
Ou seja: probabilidade = comprimento do subintervalo dividido pelo comprimento total (b-a).

Passo 4

Agora aplicar ao nosso caso. Aqui:
a=3,\qquad b=6,\qquad c=3,\qquad d=4.
Usando a fórmula
P(3\le X\le 4)=\frac{4-3}{6-3}.
Calculemos os comprimentos:
4-3=1,\qquad 6-3=3.
Portanto
P(3\le X\le 4)=\frac{1}{3}.

Passo 5

Interpretando o resultado: \dfrac{1}{3} significa que, como o intervalo total tem comprimento \,3 e o subintervalo [3,4] tem comprimento \,1, a chance é um terço do total. Em decimal isso é aproximadamente
\frac{1}{3}\approx 0,3333.
Observação útil para a prova: em distribuições uniformes contínuas, os extremos inclusivos ou exclusivos não mudam a probabilidade (porque pontos isolados têm probabilidade zero), então é indiferente escrever [3,4] ou (3,4).

Passo 6

Exemplo rápido extra (para fixar): a probabilidade de estar entre \,4 e \,6 seria
\frac{6-4}{6-3}=\frac{2}{3},
ou seja, o complemento de \dfrac{1}{3} no intervalo total.
Força aí — você já tem a ideia central: probabilidade = comprimento do intervalo favorável dividido pelo comprimento do intervalo total quando é uniforme!

Resposta

\dfrac{1}{3} (aproximadamente 0,3333)

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