Medidas de uma certa temperatura variam uniformemente entre 3 e 6 graus Celsius. Qual a probabilidade de termos uma temperatura:
Igual a 4 graus Celsius?
Passo 1
O enunciado diz que as medidas de temperatura variam uniformemente entre 3 e 6 graus Celsius. A pergunta é: qual a probabilidade de termos exatamente 4 graus Celsius?
Informações relevantes fornecidas:
O intervalo possível é [3,6].
A variação é uniforme (ou seja, todos os valores dentro do intervalo têm “a mesma densidade” de probabilidade).
Quer-se a probabilidade de ocorrer exatamente o valor 4.
Passo 2
Definir a variável aleatória e a densidade: seja X\) a temperatura observada. Para uma distribuição uniforme contínua no intervalo \([a,b]\) a densidade de probabilidade (função densidade de probabilidade, pdf) é dada por
\[f_X(x)=\begin{cases} \dfrac{1}{b-a}, & x\in[a,b],\\[6pt] 0, & \text{caso contrário}. \end{cases}
Explanação curta: f_X(x)\] mede "densidade" por unidade de comprimento; a probabilidade de \(X cair em um intervalo [u,v]\subseteq[3,6] é dada por
P(u\le X\le v)=\int_{u}^{v} f_X(x)\,dx.]
Passo 3
Calcular a probabilidade de um ponto exato usando a definição de probabilidade para contínuo. A probabilidade de X ser exatamente 4 é a integral da densidade sobre o conjunto \{4\}, ou seja
P(X=4)=\int_{4}^{4} f_X(x)\,dx.
Como os limites de integração são iguais, a integral vale zero. Portanto
P(X=4)=0.
Passo 4
Intuição adicional (útil para a prova): em distribuições contínuas a probabilidade está associada a comprimentos de intervalos. Um ponto único tem comprimento (medida) zero, logo sua probabilidade é zero. Para ver também por aproximação, considere um pequeno intervalo simétrico em torno de 4: para \varepsilon>0 suficientemente pequeno,
P(4-\varepsilon < X < 4+\varepsilon)=\int_{4-\varepsilon}^{4+\varepsilon} \frac{1}{3}\,dx=\frac{2\varepsilon}{3}.
Ao fazer \varepsilon\to 0 esse valor tende a 0, mostrando que a probabilidade de atingir exatamente 4 é 0.
Passo 5
Resumo didático: para uma variável contínua uniforme em [3,6] a pdf é constante igual a 1/3. Probabilidades são áreas de intervalos sob a curva; um ponto não tem área, logo probabilidade zero. Isso é uma regra geral: em qualquer distribuição contínua, P(X=x_0)=0 para qualquer x_0.
Força aí — essa questão é tranquila e muito comum em provas: se for contínuo e perguntar “exatamente tal valor”, a resposta costuma ser zero.