Uma variável aleatória contínua X tem função densidade de probabilidade dada por f(x)=\left\{\begin{array}{c}k \cos x, \text { se } 0<x<\frac{\pi}{4} \\\\ 0, \text { caso contrário }\end{array}\right.
Determine:
a) A constante k. k=\sqrt{2}
b) P\left(\frac{\pi}{6}<X<\frac{\pi}{4}\right) 1-\frac{\sqrt{2}}{2}
c) E(X) \frac{\sqrt{2}}{2}\left(\frac{\pi}{4}+1\right)-1
d) F(x)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
(Verificação rápida numérica: \dfrac{\pi}{4}\approx0{,}7854, então E(X)\approx0{,}7854+1-1{,}4142\approx0{,}3712.)
Passo 5
Determinar a função distribuição acumulada F(x)=P(X\le x). Como a densidade é nula fora de \left(0,\tfrac{\pi}{4}\right), a CDF é uma função em partes:
Para x\le 0, nenhuma massa está antes de x, então
F(x)=0,\qquad x\le 0.
Para 0<x<\dfrac{\pi}{4}, calcular a integral da densidade de 0 até x:
Para x\ge \dfrac{\pi}{4}, toda a massa já foi acumulada, logo
F(x)=1,\qquad x\ge \dfrac{\pi}{4}.
Verificação de continuidade em x=\tfrac{\pi}{4}: \sqrt{2}\sin(\tfrac{\pi}{4})=\sqrt{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=1, portanto a CDF liga corretamente ao valor 1.
Resposta
a) k=\sqrt{2}
b) P\!\left(\dfrac{\pi}{6}<X<\dfrac{\pi}{4}\right)=1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}