Uma variável aleatória contínua X tem função densidade de probabilidade dada por
f(x)=\left\{\begin{array}{c}k \cos x, \text { se } 0<x<\frac{\pi}{4} \\\\ 0, \text { caso contrário }\end{array}\right.á
Determine:
a) A constante k.
k=\sqrt{2}
b) P\left(\frac{\pi}{6}<X<\frac{\pi}{4}\right)
1-\frac{\sqrt{2}}{2}
c) E(X) \frac{\sqrt{2}}{2}\left(\frac{\pi}{4}+1\right)-1
d) F(x)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • A função densidade é dada por
f(x)=\begin{cases} k\cos x, & \text{se }0<x<\dfrac{\pi}{4},\\[6pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á
  • Precisamos determinar:
    (a) a constante k;
    (b) P\!\left(\dfrac{\pi}{6}<X<\dfrac{\pi}{4}\right);
    (c) E(X);
    (d) a função de distribuição acumulada F(x)=P(X\le x).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A densidade é nula fora do intervalo \left(0,\dfrac{\pi}{4}\right).
  • A densidade é proporcional a \cos x no interior desse intervalo, portanto k é uma constante positiva que normaliza a densidade.]

Passo 2

Determinar k pela condição de normalização da densidade: a integral da densidade sobre todo o espaço deve ser 1. Escrever a equação e resolver:
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1
Como f(x)=0 fora de \left(0,\dfrac{\pi}{4}\right), isso vira
\int_{0}^{\pi/4} k\cos x\,dx = 1.
Calcule a integral: \int \cos x\,dx = \sin x. Então
k\big[\sin x\big]_{0}^{\pi/4} = 1 \quad\Rightarrow\quad k\big(\sin(\tfrac{\pi}{4})-\sin 0\big)=1.
Sabendo que \sin(\tfrac{\pi}{4})=\dfrac{\sqrt{2}}{2} e \sin 0=0,
k\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 1 \quad\Rightarrow\quad k = \dfrac{1}{\sqrt{2}/2} = \sqrt{2}.
Portanto k=\sqrt{2}. (Pequeno incentivo: acertar k é sempre o primeiro passo em problems de pdf — já começamos bem!)

Passo 3

Calcular P\!\left(\dfrac{\pi}{6}<X<\dfrac{\pi}{4}\right). Para uma densidade contínua, é a integral da densidade entre os limites:
P\!\left(\tfrac{\pi}{6}<X<\tfrac{\pi}{4}\right) = \int_{\pi/6}^{\pi/4} k\cos x\,dx.
Substituindo k=\sqrt{2} e integrando:
\int_{\pi/6}^{\pi/4} \sqrt{2}\cos x\,dx = \sqrt{2}\big[\sin x\big]_{\pi/6}^{\pi/4} = \sqrt{2}\big(\sin(\tfrac{\pi}{4})-\sin(\tfrac{\pi}{6})\big).
Usando \sin(\tfrac{\pi}{4})=\dfrac{\sqrt{2}}{2} e \sin(\tfrac{\pi}{6})=\dfrac{1}{2}:
\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{1}{2}\right) = \sqrt{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}-1}{2} = \left(\sqrt{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) - \left(\sqrt{2}\cdot\dfrac{1}{2}\right).
Calcule as parcelas: \sqrt{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=1 e \sqrt{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}. Logo
P\!\left(\tfrac{\pi}{6}<X<\tfrac{\pi}{4}\right)=1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 4

Calcular E(X). A definição de esperança para variável contínua é
E(X)=\int_{-\infty}^{\infty} x f(x)\,dx.
Como f(x)=0 fora de \left(0,\tfrac{\pi}{4}\right), temos
E(X)=\int_{0}^{\pi/4} x\cdot k\cos x\,dx.
Aqui é conveniente usar integração por partes. Lembrete rápido (integração por partes): para funções u(x) e v'(x),
\int u\,v' = u v - \int u' v.
Escolher de forma a simplificar: tome u=x (então u'=1) e v' = k\cos x (então v = k\sin x). Aplicando:
\int_{0}^{\pi/4} x\cdot k\cos x\,dx = \big[x\cdot k\sin x\big]_{0}^{\pi/4} - \int_{0}^{\pi/4} 1\cdot k\sin x\,dx.
Calcule o termo de contorno primeiro:
\big[x\cdot k\sin x\big]_{0}^{\pi/4} = k\cdot \tfrac{\pi}{4}\sin(\tfrac{\pi}{4}) - 0 = k\cdot \tfrac{\pi}{4}\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}.
Agora a integral restante: \int_{0}^{\pi/4} k\sin x\,dx = k\big[-\cos x\big]_{0}^{\pi/4} = k\big(-\cos(\tfrac{\pi}{4})+\cos 0\big).
Usando \cos(\tfrac{\pi}{4})=\dfrac{\sqrt{2}}{2} e \cos 0=1,
\int_{0}^{\pi/4} k\sin x\,dx = k\left(1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right).
Portanto
E(X)= k\cdot \dfrac{\pi}{4}\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} - k\left(1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right).
Fatorando k\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2} na expressão ou simplificando com k=\sqrt{2} torna a expressão mais simples. Substituindo k=\sqrt{2}:
Observe que k\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2} = 1. Assim
E(X)= 1\cdot \dfrac{\pi}{4} - \sqrt{2}\left(1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right).
Desenvolvendo a segunda parcela: \sqrt{2}\left(1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=\sqrt{2}-1. Logo
E(X)= \dfrac{\pi}{4} - (\sqrt{2}-1)=\dfrac{\pi}{4}+1-\sqrt{2}.
Resumo: a esperança é
E(X)=\dfrac{\pi}{4}+1-\sqrt{2}.
(Verificação rápida numérica: \dfrac{\pi}{4}\approx0{,}7854, então E(X)\approx0{,}7854+1-1{,}4142\approx0{,}3712.)

Passo 5

Determinar a função distribuição acumulada F(x)=P(X\le x). Como a densidade é nula fora de \left(0,\tfrac{\pi}{4}\right), a CDF é uma função em partes:
  • Para x\le 0, nenhuma massa está antes de x, então
F(x)=0,\qquad x\le 0.
  • Para 0<x<\dfrac{\pi}{4}, calcular a integral da densidade de 0 até x:
F(x)=\int_{0}^{x} k\cos t\,dt = k\big[\sin t\big]_{0}^{x}=k\sin x.
Substituindo k=\sqrt{2}, obtemos
F(x)=\sqrt{2}\sin x,\qquad 0<x<\dfrac{\pi}{4}.
  • Para x\ge \dfrac{\pi}{4}, toda a massa já foi acumulada, logo
F(x)=1,\qquad x\ge \dfrac{\pi}{4}.
Verificação de continuidade em x=\tfrac{\pi}{4}: \sqrt{2}\sin(\tfrac{\pi}{4})=\sqrt{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=1, portanto a CDF liga corretamente ao valor 1.

Resposta

a) k=\sqrt{2}
b) P\!\left(\dfrac{\pi}{6}<X<\dfrac{\pi}{4}\right)=1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}
c) E(X)=\dfrac{\pi}{4}+1-\sqrt{2}
d) F(x)=\begin{cases} 0, & x\le 0,\\[4pt] \sqrt{2}\sin x, & 0<x<\dfrac{\pi}{4},\\[6pt] 1, & x\ge \dfrac{\pi}{4}. \end{cases}]

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