Seja f(x)=\left\{\begin{array}{ll}0 & \mathrm{x}<0 \\\ x & 0 \leq x \leq 1 \\\\ 2-x & 1 \leq x \leq 2 \\\\ 0 & \mathrm{x}>2\end{array}\right..
a) f(x) é uma função densidade de probabilidade (f.d.p.) ? SIM
b) Calcule P(0 \leq x \leq 0,8). 0,32
c) Determine E(X). 1
d) Determine \operatorname{VAR}(X). 0,1666 \ldots
e) Calcule P(x>0,3) . \quad 0,955

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)\) definida por partes: \[f(x)=\begin{cases} 0, & x<0,\\[4pt] x, & 0\le x\le 1,\\[4pt] 2-x, & 1\le x\le 2,\\[4pt] 0, & x>2. \end{cases}
As perguntas que precisamos responder são:
a) f(x)\] é uma função densidade de probabilidade (f.d.p.)? b) Calcular \(P(0\le x\le 0,8).
c) Determinar E(X).
d) Determinar \operatorname{VAR}(X).
e) Calcular P(x>0,3).]

Passo 2

Verificar se f é uma f.d.p. — lembrando o que isso exige.
  • Uma função f é uma densidade de probabilidade se for não-negativa para todo x e se a integral total for 1:
f(x)\ge 0\\ \text{para todo }x,\qquad \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1.
No enunciado vemos que f(x)=0 fora de [0,2] e dentro de [0,2] as fórmulas x e 2-x são não-negativas, logo f(x)\ge 0 está satisfeita.
Agora calculamos a integral total. Como f é zero fora de [0,2], basta integrar em [0,2] e dividir o intervalo conforme a definição:
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = \int_{0}^{1} x\,dx + \int_{1}^{2} (2-x)\,dx.
Calcule cada integral:
\int_{0}^{1} x\,dx = \left.\frac{x^{2}}{2}\right|_{0}^{1} = \frac{1}{2}.
\int_{1}^{2} (2-x)\,dx = \left.[2x-\tfrac{x^{2}}{2}]\right|_{1}^{2} = \big(4-2\big)-\big(2-\tfrac{1}{2}\big)=2-1{,}5= \frac{1}{2}.
Somando:
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = \frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1.
Portanto f satisfaz ambas as condições e é, de fato, uma f.d.p.

Passo 3

Calcular P(0\le x\le 0,8). Para uma variável contínua com densidade f,
P(a\le X\le b)=\int_{a}^{b} f(x)\,dx.
Aqui o intervalo [0,0{,}8] está contido em [0,1], onde f(x)=x. Logo
P(0\le x\le 0,8)=\int_{0}^{0,8} x\,dx = \left.\frac{x^{2}}{2}\right|_{0}^{0,8} = \frac{(0,8)^{2}}{2}=\frac{0{,}64}{2}=0{,}32.

Passo 4

Calcular E(X). Recordando a definição de esperança para variável contínua:
E(X)=\int_{-\infty}^{\infty} x\,f(x)\,dx.
Como f é zero fora de [0,2] e muda de expressão em x=1, particionamos a integral:
E(X)=\int_{0}^{1} x\cdot x\,dx + \int_{1}^{2} x\cdot(2-x)\,dx = \int_{0}^{1} x^{2}\,dx + \int_{1}^{2} (2x - x^{2})\,dx.
Calcule cada termo:
\int_{0}^{1} x^{2}\,dx = \left.\frac{x^{3}}{3}\right|_{0}^{1} = \frac{1}{3}.
\int_{1}^{2} (2x - x^{2})\,dx = \left.[x^{2}-\tfrac{x^{3}}{3}]\right|_{1}^{2} = \big(4-\tfrac{8}{3}\big)-\big(1-\tfrac{1}{3}\big) = \big(\tfrac{12-8}{3}\big)-\big(\tfrac{3-1}{3}\big) = \tfrac{4}{3}-\tfrac{2}{3}=\tfrac{2}{3}.
Somando os dois termos:
E(X)=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}=1.

Passo 5

Calcular \operatorname{VAR}(X). Fórmula prática:
\operatorname{Var}(X)=E(X^{2})-\big(E(X)\big)^{2}.
Já temos E(X)=1. Precisamos de E(X^{2}):
E(X^{2})=\int_{-\infty}^{\infty} x^{2} f(x)\,dx = \int_{0}^{1} x^{2}\cdot x\,dx + \int_{1}^{2} x^{2}\cdot(2-x)\,dx = \int_{0}^{1} x^{3}\,dx + \int_{1}^{2} (2x^{2}-x^{3})\,dx.
Calcule cada integral:
\int_{0}^{1} x^{3}\,dx = \left.\frac{x^{4}}{4}\right|_{0}^{1} = \frac{1}{4}.
\int_{1}^{2} (2x^{2}-x^{3})\,dx = \left.\big(\tfrac{2x^{3}}{3}-\tfrac{x^{4}}{4}\big)\right|_{1}^{2} = \Big(\tfrac{16}{3}-4\Big)-\Big(\tfrac{2}{3}-\tfrac{1}{4}\Big).
Calcule as partes numéricas:
\tfrac{16}{3}-4=\tfrac{16-12}{3}=\tfrac{4}{3},\qquad \tfrac{2}{3}-\tfrac{1}{4}=\tfrac{8-3}{12}=\tfrac{5}{12}.
Subtraindo:
\frac{4}{3}-\frac{5}{12}=\frac{16-5}{12}=\frac{11}{12}.
Então
E(X^{2})=\frac{1}{4}+\frac{11}{12}=\frac{3}{12}+\frac{11}{12}=\frac{14}{12}=\frac{7}{6}.
Agora a variância:
\operatorname{Var}(X)=E(X^{2})-\big(E(X)\big)^{2}=\frac{7}{6}-1=\frac{1}{6}\approx 0{,}1666\ldots

Passo 6

Calcular P(x>0,3). Para variável contínua podemos usar o complementar:
P(X>0{,}3)=1-P(X\le 0{,}3).
Como a probabilidade de um ponto isolado é zero, P(X\le 0{,}3)=P(0\le X\le 0{,}3). Esse intervalo está em [0,1], onde f(x)=x, então
P(0\le X\le 0{,}3)=\int_{0}^{0{,}3} x\,dx = \left.\frac{x^{2}}{2}\right|_{0}^{0{,}3} = \frac{(0{,}3)^{2}}{2}=\frac{0{,}09}{2}=0{,}045.
Portanto
P(X>0{,}3)=1-0{,}045=0{,}955.

Resposta

a) SIM
b) P(0\le x\le 0{,}8)=0{,}32
c) E(X)=1
d) \operatorname{VAR}(X)=\dfrac{1}{6}\approx 0{,}1666\ldots
e) P(x>0{,}3)=0{,}955

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