Seja f(x)=\left\{\begin{array}{ll}0 & \mathrm{x}<0 \\\ x & 0 \leq x \leq 1 \\\\ 2-x & 1 \leq x \leq 2 \\\\ 0 & \mathrm{x}>2\end{array}\right..
a) f(x) é uma função densidade de probabilidade (f.d.p.) ? SIM
b) Calcule P(0 \leq x \leq 0,8). 0,32
c) Determine E(X). 1
d) Determine \operatorname{VAR}(X). 0,1666 \ldots
e) Calcule P(x>0,3) . \quad 0,955
Passo 1
O enunciado dá a função f(x)\) definida por partes:
\[f(x)=\begin{cases} 0, & x<0,\\[4pt] x, & 0\le x\le 1,\\[4pt] 2-x, & 1\le x\le 2,\\[4pt] 0, & x>2. \end{cases}
As perguntas que precisamos responder são:
a) f(x)\] é uma função densidade de probabilidade (f.d.p.)?
b) Calcular \(P(0\le x\le 0,8).
c) Determinar E(X).
d) Determinar \operatorname{VAR}(X).
e) Calcular P(x>0,3).]
Passo 2
Verificar se f é uma f.d.p. — lembrando o que isso exige.
Uma função f é uma densidade de probabilidade se for não-negativa para todo x e se a integral total for 1:
f(x)\ge 0\\ \text{para todo }x,\qquad \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1.
No enunciado vemos que f(x)=0 fora de [0,2] e dentro de [0,2] as fórmulas x e 2-x são não-negativas, logo f(x)\ge 0 está satisfeita.
Agora calculamos a integral total. Como f é zero fora de [0,2], basta integrar em [0,2] e dividir o intervalo conforme a definição: