2. Medidas Descritivas

  • Qual é a média aritmética da Amostra A e da Amostra B?
  • Qual é a mediana de cada amostra?
  • Qual é o desvio-padrão amostral de cada amostra?
  • Qual é o coeficiente de variação (CV %) de cada amostra?
  • Quais são os valores de Q1 e Q3 em cada amostra?
  • Qual é o intervalo interquartílico (IQR = Q3 - Q1) em cada amostra?

Passo 1

O enunciado pede vários resumos estatísticos para duas amostras chamadas “Amostra A” e “Amostra B”. As perguntas são, explicitamente:
  • Qual é a média aritmética da Amostra A e da Amostra B?
  • Qual é a mediana de cada amostra?
  • Qual é o desvio-padrão amostral de cada amostra?
  • Qual é o coeficiente de variação (CV %) de cada amostra?
  • Quais são os valores de Q1 e Q3 em cada amostra?
  • Qual é o intervalo interquartílico (IQR = Q3 - Q1) em cada amostra?
Informações fornecidas pelo enunciado: nenhum valor numérico das amostras foi enviado. Ou seja, não há os dados de observações de Amostra A nem de Amostra B no enunciado que você me passou.
Conclusão deste passo: para entregar os números pedidos (médias, medianas, etc.) é necessário ter os dados de cada amostra. Como esses dados não foram fornecidos, não é possível calcular os valores numéricos finais para Amostra A e Amostra B. Nos próximos passos eu vou te ensinar, passo a passo e com um exemplo didático, exatamente como calcular cada medida para que você faça isso na prova assim que tiver os dados.

Passo 2

Como calcular a média aritmética (a “média”) — fórmula, significado e exemplo prático.
  • Notação e fórmula: seja uma amostra com n observações x_1,x_2,\dots,x_n. A média amostral é representada por \bar{x} e definida por
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i.
  • O que cada símbolo significa:
    • n: número de observações na amostra.
    • x_i: i-ésima observação.
    • \sum_{i=1}^{n} x_i: soma de todas as observações.
  • Interpretação: a média é o “centro de massa” aritmético dos dados.
  • Exemplo prático (ilustrativo): considere a amostra \{2,4,7,8,9,12\}. Aqui n=6.
    • Soma das observações: \sum_{i=1}^{6} x_i = 2+4+7+8+9+12 = 42.
    • Média: \bar{x}=\dfrac{42}{6}=7.
  • Dica rápida para prova: calcule a soma primeiro, depois divida por n. Se houver muitos números, agrupe pares que somem números redondos para agilizar.

Passo 3

Como calcular a mediana — definição, caso n ímpar e n par, e exemplo.
  • Definição: a mediana é o valor central quando os dados estão ordenados.
  • Procedimento:
    1. Ordene os dados em ordem crescente.
    2. Se n for ímpar: a mediana é o elemento na posição \dfrac{n+1}{2}.
    3. Se n for par: a mediana é a média aritmética dos dois elementos centrais (posições \dfrac{n}{2} e \dfrac{n}{2}+1).
  • Exemplo com a mesma amostra ilustrativa \{2,4,7,8,9,12\} (já ordenada) e n=6 (par):
    • Elementos centrais: 3.º e 4.º valores são 7 e 8.
    • Mediana: \text{mediana}=\dfrac{7+8}{2}=7{,}5.
  • Observação prática: ordenar é o passo mais chato; faça com calma e risque os elementos já usados.

Passo 4

Como calcular o desvio-padrão amostral (com correção de Bessel) — fórmula, explicação de cada termo e cálculo passo a passo.
  • Objetivo: medir a dispersão dos valores em torno da média.
  • Fórmula do desvio-padrão amostral s:
s=\sqrt{s^2} \quad\text{onde}\quad s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\bigl(x_i-\bar{x}\bigr)^2.
  • O que cada símbolo significa:
    • s^2: variância amostral.
    • n-1: grau de liberdade (correção de Bessel) — usamos n-1 em amostras para obter estimativa não tendenciosa da variância populacional.
    • (x_i-\bar{x})^2: quadrado da diferença entre cada observação e a média (desvio ao quadrado).
  • Passos para calcular:
    1. Calcule \bar{x}.
    2. Para cada i, calcule d_i=x_i-\bar{x} e depois d_i^2.
    3. Some todos os d_i^2 para obter \sum d_i^2.
    4. Divida por n-1 para obter s^2.
    5. Tire a raiz quadrada: s=\sqrt{s^2}.
  • Exemplo completo com a amostra \{2,4,7,8,9,12\} (a média já foi \bar{x}=7):
    • Desvios e quadrados:
      • 2-7=-5 e (-5)^2=25.
      • 4-7=-3 e (-3)^2=9.
      • 7-7=0 e 0^2=0.
      • 8-7=1 e 1^2=1.
      • 9-7=2 e 2^2=4.
      • 12-7=5 e 5^2=25.
    • Soma dos quadrados: \sum (x_i-\bar{x})^2 = 25+9+0+1+4+25 = 64.
    • Variância amostral: s^2=\dfrac{64}{n-1}=\dfrac{64}{5}=12{,}8.
    • Desvio-padrão amostral: s=\sqrt{12{,}8}\approx 3{,}5777.
  • Dica prática: na prova, se o enunciado pede apenas comparar dispersões, às vezes basta comparar variâncias sem tirar raiz; mas se pedirem s ou CV, calcule a raiz.

Passo 5

Como calcular o coeficiente de variação (CV %) — interpretação e cálculo.
  • Definição: CV é uma medida relativa de dispersão, dada por
\text{CV}\% = \frac{s}{\bar{x}}\times 100\%.
  • O que cada termo significa:
    • s: desvio-padrão amostral.
    • \bar{x}: média amostral.
  • Interpretação: mostra a variação relativa em percentagem — útil para comparar variabilidade entre amostras com médias diferentes.
  • Exemplo com a amostra ilustrativa:
    • Temos \bar{x}=7 e s\approx 3{,}5777.
    • \text{CV}\% = \dfrac{3{,}5777}{7}\times 100\%\approx 51{,}11\%.
  • Dica: CV só faz sentido se a média for positiva e a unidade de medida for a mesma para dados comparados.

Passo 6

Como encontrar Q1 e Q3 (primeiro e terceiro quartis) — método prático e exemplo.
  • Definição intuitiva: Q1 é o valor abaixo do qual está aproximadamente 25\% dos dados; Q3 corresponde a 75\%.
  • Método que usaremos (fácil e comum): método da posição (n+1)p.
    • Para o percentil p (por exemplo, p=0{,}25 para Q1 e p=0{,}75 para Q3), calcule a posição
    \text{pos}=(n+1)\,p.
    • Se \text{pos} for inteiro, o quartil é o valor nessa posição (na amostra ordenada).
    • Se \text{pos} não for inteiro, faça interpolação linear entre os vizinhos: se \text{pos}=k+\delta com k inteiro e 0<\delta<1, então
    Q_p = x_{(k)} + \delta\cdot\bigl(x_{(k+1)}-x_{(k)}\bigr),onde x_{(k)} é o k-ésimo valor na amostra ordenada.
  • Exemplo com a amostra \{2,4,7,8,9,12\} (ordenada), n=6:
    • Para Q1: \text{pos}_1=(6+1)\times 0{,}25=7\times 0{,}25=1{,}75.
      • Isso está entre a posição 1 e 2 ( x_{(1)}=2 e x_{(2)}=4), com \delta=0{,}75.
      • Interpolando: Q1 = 2 + 0{,}75(4-2) = 2 + 0{,}75\times 2 = 2 + 1{,}5 = 3{,}5.
    • Para Q3: \text{pos}_3=(6+1)\times 0{,}75=7\times 0{,}75=5{,}25.
      • Entre as posições 5 e 6 ( x_{(5)}=9 e x_{(6)}=12), com \delta=0{,}25.
      • Interpolando: Q3 = 9 + 0{,}25(12-9) = 9 + 0{,}25\times3 = 9 + 0{,}75 = 9{,}75.
  • Observação: existem outras regras (por exemplo, dividir os dados em duas metades e tirar medianas das metades), mas o método (n+1)p é bem aceito e fácil de aplicar em provas — eu usei ele aqui.

Passo 7

Como calcular o Intervalo Interquartílico (IQR) e interpretação; exemplo.
  • Definição:
\text{IQR} = Q3 - Q1.
  • Interpretação: mede a dispersão da “metade central” dos dados; reduz a influência de outliers.
  • Exemplo com os valores obtidos:
    • Q1=3{,}5 e Q3=9{,}75.
    • \text{IQR}=9{,}75-3{,}5=6{,}25.
  • Dica prática: em gráficos de caixa (boxplot), a caixa tem altura igual ao IQR; valores muito abaixo de Q1-1{,}5\cdot\text{IQR} ou muito acima de Q3+1{,}5\cdot\text{IQR} são possíveis outliers.

Passo 8

Resumo prático de como aplicar tudo isso às suas Amostra A e Amostra B na prova (passo a passo curto para consulta rápida).
  1. Ordene cada amostra separadamente.
  2. Calcule n e \sum x_i e então \bar{x}=\dfrac{1}{n}\sum x_i.
  3. Encontre a mediana (caso ímpar pega o elemento central, caso par tira média dos dois centrais).
  4. Calcule s com s=\sqrt{\dfrac{1}{n-1}\sum (x_i-\bar{x})^2} — calcule os desvios, seus quadrados, some, divida por n-1, tire raiz.
  5. Calcule \text{CV}\%=\dfrac{s}{\bar{x}}\times 100\%.
  6. Para quartis, use \text{pos}=(n+1)p com p=0{,}25 e p=0{,}75; interpole se necessário.
  7. Calcule \text{IQR}=Q3-Q1.
  • Motivação final: assim que você tiver os dados de Amostra A e Amostra B, aplique os passos acima exatamente na ordem; se quiser eu faço as contas para você se você colar aqui os vetores de dados.

Resposta

Média aritmética da Amostra A: impossível calcular — dados da Amostra A não foram fornecidos.
Média aritmética da Amostra B: impossível calcular — dados da Amostra B não foram fornecidos.
Mediana da Amostra A: impossível calcular — dados da Amostra A não foram fornecidos.
Mediana da Amostra B: impossível calcular — dados da Amostra B não foram fornecidos.
Desvio-padrão amostral da Amostra A: impossível calcular — dados da Amostra A não foram fornecidos.
Desvio-padrão amostral da Amostra B: impossível calcular — dados da Amostra B não foram fornecidos.
Coeficiente de variação (CV %) da Amostra A: impossível calcular — dados da Amostra A não foram fornecidos.
Coeficiente de variação (CV %) da Amostra B: impossível calcular — dados da Amostra B não foram fornecidos.
Valor de Q1 da Amostra A: impossível calcular — dados da Amostra A não foram fornecidos.
Valor de Q1 da Amostra B: impossível calcular — dados da Amostra B não foram fornecidos.
Valor de Q3 da Amostra A: impossível calcular — dados da Amostra A não foram fornecidos.
Valor de Q3 da Amostra B: impossível calcular — dados da Amostra B não foram fornecidos.
Intervalo interquartílico (IQR) da Amostra A: impossível calcular — dados da Amostra A não foram fornecidos.
Intervalo interquartílico (IQR) da Amostra B: impossível calcular — dados da Amostra B não foram fornecidos.

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