Uma placa com largura 2 w=8 \mathrm{in}(203,2 \mathrm{~mm}) e espessura t=0,05 \mathrm{in}(1,27 \mathrm{~mm}) é fabricada de uma liga cobre-berilio-chumbo \left(S_{u}=98 \mathrm{ksi}(676 \mathrm{MPa})\right. e \left.S_{j}=117 \mathrm{ksi}(807 \mathrm{MPa})\right) e K_{L}( tensão plana )=70 \mathrm{ksi} \sqrt{\text { in }}(77 \mathrm{MPa} \sqrt{\mathrm{m}}. Esta é utilizada em um aquecedor, onde serão realizadas inspeções periódicas para verificação de trincas. Estime a maior carga P (em referência à Seção 6.4, Figura 6.2a), que pode ser aplicada sem causar a fratura súbita da placa quando uma trinca central cresce até um comprimento, 2 c, de 1,5 \mathrm{in}(38,1 \mathrm{~mm}).

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (listei todos os dados relevantes que foram fornecidos):
  • Largura total da placa: 2 w = 8\\ \mathrm{in}. Logo, w = 4\\ \mathrm{in}.
  • Espessura da placa: t = 0,05\\ \mathrm{in}.
  • Trinca central de comprimento total 2 c = 1,5\\ \mathrm{in}. Logo, metade da trinca (meio-comprimento) é c = 0,75\\ \mathrm{in}.
  • Tenacidade à fratura (tensão plana): K_{L} = 70\\ \mathrm{ksi}\sqrt{\mathrm{in}}.
  • Resistências à tração foram dadas ( S_u,S_j), mas a estimativa pedida usa principalmente a tenacidade K_{L} para o critério de fratura.
  • O objetivo: estimar a maior carga P que pode ser aplicada sem provocar fratura súbita quando a trinca central cresce até 2c=1,5\\ \mathrm{in}.

Passo 2

Entender como o carregamento P se relaciona com a tensão média na placa.
  • Quando uma carga axial P é aplicada na placa (tensão uniforme na seção bruta), a tensão média à qual a placa é submetida é a força dividida pela área da seção transversal. A área útil da seção é a largura total vezes a espessura: A = (2 w)\,t.
  • Portanto a tensão média (tensão nominal) é
\sigma \;=\; \frac{P}{(2 w)\,t}.
Aqui:
  • \sigma é a tensão nominal média (unidades: \mathrm{ksi} = \mathrm{kips/in^2}),
  • P é a carga axial aplicada (unidades: kips ou lbf),
  • w é a metade da largura (aqui 4\\ \mathrm{in}),
  • t é a espessura (aqui 0,05\\ \mathrm{in}).

Passo 3

Critério de fratura e fator de intensidade de tensão para trinca central.
  • Em mecânica da fratura linear elástica, a fratura súbita ocorre quando o fator de intensidade de tensão no modo I atinge a tenacidade do material:
K_I \;=\; K_{L}.
  • Para uma trinca central (comprimento total 2a, metade a) em uma placa de largura finita, o fator de intensidade pode ser escrito como
K_I \;=\; \sigma\,\sqrt{\pi a}\;Y,
onde:
  • a é a metade da trinca (no nosso caso a=c),
  • Y é um fator geométrico que corrige a influência da largura finita da placa (é adimensional),
  • \sigma é a tensão nominal definida no passo 2.
  • Para a placa com trinca central existe uma expressão prática para Y (figuras padrão de placas com trinca central):
Y \;=\; \sqrt{\operatorname{sec}\!\left(\dfrac{\pi a}{2 w}\right)}.
Explicação curta: quando a trinca é pequena em relação à largura a/w\ll1, \operatorname{sec}(\cdot)\approx1 e Y\approx1. Quando a trinca se aproxima da largura, Y cresce. Não é necessário derivar aqui; usamos a fórmula tabulada para placa com trinca central.
  • Substituindo a=c, o critério de fratura fica
K_{L} \;=\; \sigma\,\sqrt{\pi c}\;Y.

Passo 4

Calcular numericamente Y, \sqrt{\pi c}, a tensão \sigma crítica e então P.
  1. Calcular o argumento da \operatorname{sec}:
\frac{\pi c}{2 w} \;=\; \frac{\pi \cdot 0,75}{2\cdot 4} \;=\; \frac{\pi \cdot 0,75}{8} \;=\; 0,294524\\ \text{(rad, aproximado)}.
  1. Calcular Y:
Y \;=\; \sqrt{\operatorname{sec}\!\left(0,294524\right)}
\cos(0,294524)\approx 0,956838\quad\Rightarrow\quad \operatorname{sec}(0,294524)=\frac{1}{0,956838}\approx 1,04516
Y \approx \sqrt{1,04516}\approx 1,02236.
  1. Calcular \sqrt{\pi c}:
\sqrt{\pi c} \;=\; \sqrt{\pi \cdot 0,75} \;\approx\; \sqrt{2,356194}\;\approx\; 1,53499.
  1. A condição K_{L}=\sigma\sqrt{\pi c}\,Y dá a tensão crítica \sigma_{cr}:
\sigma_{cr} \;=\; \frac{K_{L}}{\sqrt{\pi c}\,Y}.
Substituindo valores:
\sigma_{cr} \;=\; \frac{70\\ \mathrm{ksi}\sqrt{\mathrm{in}}}{1,53499\cdot 1,02236} \;\approx\; \frac{70}{1,56927}\\ \mathrm{ksi} \;\approx\; 44,606\\ \mathrm{ksi}.
  1. Finalmente, a carga P correspondente a essa tensão crítica:
P \;=\; \sigma_{cr}\,(2 w)\,t.
Calcular a área: (2 w)\,t = 8\\ \mathrm{in}\times 0,05\\ \mathrm{in} = 0,4\\ \mathrm{in^2}.
P \;=\; 44,606\\ \mathrm{ksi}\times 0,4\\ \mathrm{in^2} \;=\; 17,8424\\ \mathrm{kips} \;=\; 17\,842,4\\ \mathrm{lbf}.
  1. Conversão para sistema internacional (opcional):
1\\ \text{kip}\approx 4,44822\\ \mathrm{kN}\quad\Rightarrow\quad P\approx 17,8424\times 4,44822\\ \mathrm{kN}\approx 79,37\\ \mathrm{kN}.

Passo 5

Interpretação final e observações rápidas (para consulta na prova):
  • O procedimento usado foi: relacionar P com a tensão média \sigma, usar a fórmula de intensidade de tensão K_I=\sigma\sqrt{\pi a}\,Y para trinca central em placa de largura finita, e impor K_I=K_{L} (critério de fratura).
  • Chegou-se a uma carga crítica P que, se excedida, faria K_I ultrapassar a tenacidade e causaria fratura frágil.
  • Em uma aplicação real, deve-se considerar fatores de segurança, possíveis concentrações de tensão adicionais, e verificar se o comportamento é de plano de tensão (plano-estreito/plano-tenso) para usar K_{L} corretamente.

Resposta

P \approx 17,84\\ \text{kips} = 17\,842\\ \text{lbf} \approx 79,4\\ \text{kN}

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