Uma placa com largura
e espessura
é fabricada de uma liga cobre-berilio-chumbo
e
e
tensão plana
. Esta é utilizada em um aquecedor, onde serão realizadas inspeções periódicas para verificação de trincas. Estime a maior carga
(em referência à Seção 6.4, Figura 6.2a), que pode ser aplicada sem causar a fratura súbita da placa quando uma trinca central cresce até um comprimento,
, de
.
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (listei todos os dados relevantes que foram fornecidos):
- Largura total da placa:
. Logo, . - Espessura da placa:
. - Trinca central de comprimento total
. Logo, metade da trinca (meio-comprimento) é . - Tenacidade à fratura (tensão plana):
. - Resistências à tração foram dadas (
), mas a estimativa pedida usa principalmente a tenacidade para o critério de fratura. - O objetivo: estimar a maior carga
que pode ser aplicada sem provocar fratura súbita quando a trinca central cresce até .
Passo 2
Entender como o carregamento
se relaciona com a tensão média na placa.
- Quando uma carga axial
é aplicada na placa (tensão uniforme na seção bruta), a tensão média à qual a placa é submetida é a força dividida pela área da seção transversal. A área útil da seção é a largura total vezes a espessura: . - Portanto a tensão média (tensão nominal) é
Aqui:
-
é a tensão nominal média (unidades: ), -
é a carga axial aplicada (unidades: kips ou lbf), -
é a metade da largura (aqui ), -
é a espessura (aqui ).
Passo 3
Critério de fratura e fator de intensidade de tensão para trinca central.
- Em mecânica da fratura linear elástica, a fratura súbita ocorre quando o fator de intensidade de tensão no modo I atinge a tenacidade do material:
- Para uma trinca central (comprimento total
, metade ) em uma placa de largura finita, o fator de intensidade pode ser escrito como
onde:
-
é a metade da trinca (no nosso caso ), -
é um fator geométrico que corrige a influência da largura finita da placa (é adimensional), -
é a tensão nominal definida no passo 2. -
Para a placa com trinca central existe uma expressão prática para
(figuras padrão de placas com trinca central):
Explicação curta: quando a trinca é pequena em relação à largura
,
e
. Quando a trinca se aproxima da largura,
cresce. Não é necessário derivar aqui; usamos a fórmula tabulada para placa com trinca central.
- Substituindo
, o critério de fratura fica
Passo 4
Calcular numericamente
,
, a tensão
crítica e então
.
- Calcular o argumento da
:
- Calcular
:
- Calcular
:
- A condição
dá a tensão crítica :
Substituindo valores:
- Finalmente, a carga
correspondente a essa tensão crítica:
Calcular a área:
.
- Conversão para sistema internacional (opcional):
Passo 5
Interpretação final e observações rápidas (para consulta na prova):
- O procedimento usado foi: relacionar
com a tensão média , usar a fórmula de intensidade de tensão para trinca central em placa de largura finita, e impor (critério de fratura). - Chegou-se a uma carga crítica
que, se excedida, faria ultrapassar a tenacidade e causaria fratura frágil. - Em uma aplicação real, deve-se considerar fatores de segurança, possíveis concentrações de tensão adicionais, e verificar se o comportamento é de plano de tensão (plano-estreito/plano-tenso) para usar
corretamente.