Medidas da taxa de uma reação em fase gasosa,
, foram realizadas em um reator diferencial. A partir dos dados listados na tabela determine a taxa de reação que melhor ajusta os dados cinéticos.
a)
b)
2
1,6
1,2
0,6
0,4
0,2
0,1
2,834
2,699
2,367
1,986
1,698
1,230
0,864
a)
b)
|
|
2 | 1,6 | 1,2 | 0,6 | 0,4 | 0,2 | 0,1 |
|
|
2,834 | 2,699 | 2,367 | 1,986 | 1,698 | 1,230 | 0,864 |
Passo 1
O enunciado dá medidas experimentais para a reação gasosa
. Os dados fornecidos são (peguei os valores da tabela do enunciado):
O que se pede: determinar qual das duas leis de taxa a seguir ajusta melhor os dados experimentais:
a)
b)
Observação: preciso escolher a melhor lei e estimar os parâmetros
e
de cada modelo a partir dos dados (ajuste por mínimos quadrados linearizado) e comparar a qualidade do ajuste.
Passo 2
Estratégia matemática (sem ainda resolver): transformar cada modelo numa forma linear entre duas variáveis que permita usar regressão linear por mínimos quadrados (fácil de fazer à mão).
- Para o modelo (a): partir de
divido por
e tomo o inverso convenientemente. Uma forma útil é escrever
Logo, se definirmos
e
, obtemos uma relação linear
com
A partir da regressão obtemos
e
.
- Para o modelo (b): com
temos
Rearranjando,
Defina
e
. Então temos novamente uma reta
com
A partir da regressão obtemos
e
.
Vou aplicar essas linearizações aos dados e calcular os coeficientes por mínimos quadrados (fórmulas usuais da regressão linear).
Passo 3
Preparação dos dados para o modelo (a): calculei
e
para cada ponto (mostro os valores usados nos cálculos; todos são obtidos diretamente da tabela).
Agora calculo as somas necessárias para a regressão linear simples (com
):
As fórmulas da regressão são (reta
):
Substituindo os valores:
A partir de
e
obtemos:
Passo 4
Avaliação do ajuste do modelo (a): calculo dos valores previstos
com
e
, e dos resíduos para cada
. A fórmula é
Cálculos ponto a ponto (apresento
) — números obtidos por substituição direta:
Somando os quadrados dos resíduos obtenho a soma dos erros ao quadrado (SSE) para o modelo (a):
Passo 5
Preparação dos dados para o modelo (b): define-se
e
. Calculei os pares
a partir dos dados:
Agora as somas necessárias:
Usando as fórmulas da regressão para
:
Substituindo:
Recordando a relação entre
e os parâmetros do modelo:
Passo 6
Avaliação do ajuste do modelo (b): calculo
com
e
, pela fórmula
Cálculos ponto a ponto (apresento
):
Somando os quadrados dos resíduos:
Passo 7
Comparação dos ajustes e conclusão numérica:
- Para o modelo (a) obtivemos
com estimativas . - Para o modelo (b) obtivemos
com estimativas .
Como a soma dos quadrados dos resíduos do modelo (b) é muito menor que a do modelo (a), o modelo (b) ajusta os dados experimentais muito melhor.
Resposta
Melhor ajuste: (b)
, com estimativas aproximadas
.