A reação em fase gasosa
irreversível está sendo estudada sobre um catalisador não poroso, sob dadas condições. Obtenha a expressão da taxa de reação em função da concentração de A no seio do fluido. Sabe-se que a taxa de reação é
Passo 1
O enunciado dá a taxa intrínseca de reação no seio do fluido junto à superfície do catalisador (concentração na superfície) como
onde
é a concentração de
no seio do fluido imediatamente em contato com a superfície do catalisador. A pergunta é: obter a expressão da taxa de reação em função da concentração de
no seio do fluido (concentração no volume de fluido longe da superfície), que chamarei de
.\n
Informações e hipóteses que vou usar (não foi explicitado pelo enunciado, então adoto o caso usual e físico):\n
Informações e hipóteses que vou usar (não foi explicitado pelo enunciado, então adoto o caso usual e físico):\n
- Há resistência à transferência de massa do fluido bulk até a superfície; a equação da transferência de massa convectiva linearizada é
, onde é o coeficiente de transferência de massa (unidade mol/(área·tempo) por concentração, ou ajustado à unidade usada) e é o fluxo molar por unidade de área para a superfície. Vou igualar esse fluxo à velocidade de consumo por unidade de área (regime estacionário: tudo que chega é consumido).\n - Considero todas as constantes positivas (
, , ) e operação em regime estacionário sem geração volumétrica entre bulk e superfície (caso típico para catalisador não poroso).\n
O objetivo final: encontrar(taxa de reação) escrita explicitamente em função de e das constantes , , .
Passo 2
Entendendo fisicamente e matematicamente o que vamos fazer (aula prática curta):\n
- O coeficiente de transferência de massa
relaciona o fluxo de matéria por unidade de área que chega à superfície com a diferença de concentração entre o bulk e a superfície; a forma linear é
Aqui
tem a mesma unidade da taxa
se ambas forem definidas por unidade de área; portanto, no regime estacionário a quantidade que chega pela convecção/difusão é a que é consumida pela reação. Assim, igualamos:
- O termo
no lado direito é a velocidade de reação na superfície; o enunciado diz que essa velocidade (por unidade de área) é
Portanto, escrevemos a condição de balanço na superfície (igualdade fluxo ↔ reação) e obtemos uma equação que relaciona
e
. Em seguida resolvemos essa equação para
em função de
e substituímos em
para ter
.
Passo 3
Montando a equação que relaciona
e
: igualando fluxo e reação,
Multiplico ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Agora eu desenvolvo o produto do lado esquerdo cuidadosamente (mostrando as contas passo a passo):
Multiplico o
por cada termo:
Reagrupo todos os termos para formar uma equação quadrática em
. Levo tudo para o lado esquerdo:
Multiplico por
para ficar com coeficiente quadrático positivo:
Passo 4
Resolver a equação quadrática para
. Identifico os coeficientes (para usar a fórmula quadrática):
A solução pelo discriminante é
Calculo o discriminante explicitamente (mostrando o detalhe):
Como
(pois
para
), o termo extra é positivo e o discriminante é sempre maior que ou igual a zero (consistente fisicamente). A raiz fisicamente relevante é a que dá
e menor ou igual a
em situações normais; algebraicamente isso corresponde à escolha do sinal que gera a raiz positiva e fisicamente admissível. Tomamos o sinal
no numerador (isso fornece a solução física correta; pode verificar que com o sinal
às vezes dá raiz negativa ou não física). Assim,
Passo 5
Agora escrevo a taxa
em função de
. Posso usar
(mais simples, vindo do balanço fluxo = reação) e substituir
obtido. Faço essa substituição e simplifico a expressão para que fique compacta e explícita:\n
Primeiro escrevo em termos de
:
Primeiro escrevo
Substituindo
pela solução acima e simplificando (faço as operações algébricas principais e mostro o resultado final simplificado), obtenho
Essa forma é algebraicamente equivalente a
com
igual à raiz positiva mostrada no passo anterior. Ela dá a taxa de consumo de
(por unidade de área, no mesmo referencial das constantes) escrita explicitamente em função de
e das constantes
.
Passo 6
Interpretação física rápida (útil na prova):\n
- Se transferência de massa for muito rápida (
), espera-se e a expressão acima tende a
ou seja, o regime controlado pela cinética (nenhuma perda por transporte). Pode checar fazendo o limite em
na expressão de
.\n
- Se reação for muito rápida comparada à transferência (
grande), a superfície tende a esgotar , e o termo de transferência limita a velocidade: aproxima-se de (regime controlado por transporte). Essas checagens ajudam a entender se a expressão final faz sentido.\n
Coragem — essa dedução é a forma padrão de juntar cinética não-linear com resistência de transporte externo.