A reação em fase gasosa \mathrm{A} \rightarrow \mathrm{B} irreversível está sendo estudada sobre um catalisador não poroso, sob dadas condições. Obtenha a expressão da taxa de reação em função da concentração de A no seio do fluido. Sabe-se que a taxa de reação é \mathrm{r}=\frac{k_{1} C_{A S}}{1+k_{2} C_{A S}}

Passo 1

O enunciado dá a taxa intrínseca de reação no seio do fluido junto à superfície do catalisador (concentração na superfície) como
r=\frac{k_{1}C_{A S}}{1+k_{2}C_{A S}},
onde C_{A S} é a concentração de A no seio do fluido imediatamente em contato com a superfície do catalisador. A pergunta é: obter a expressão da taxa de reação em função da concentração de A no seio do fluido (concentração no volume de fluido longe da superfície), que chamarei de C_{A}.\n
Informações e hipóteses que vou usar (não foi explicitado pelo enunciado, então adoto o caso usual e físico):\n
  • Há resistência à transferência de massa do fluido bulk até a superfície; a equação da transferência de massa convectiva linearizada é N_A = k_g (C_A - C_{A S}), onde k_g é o coeficiente de transferência de massa (unidade mol/(área·tempo) por concentração, ou ajustado à unidade usada) e N_A é o fluxo molar por unidade de área para a superfície. Vou igualar esse fluxo à velocidade de consumo por unidade de área (regime estacionário: tudo que chega é consumido).\n
  • Considero todas as constantes positivas ( k_1>0, k_2\ge0, k_g>0) e operação em regime estacionário sem geração volumétrica entre bulk e superfície (caso típico para catalisador não poroso).\n
    O objetivo final: encontrar r (taxa de reação) escrita explicitamente em função de C_A e das constantes k_1, k_2, k_g.

Passo 2

Entendendo fisicamente e matematicamente o que vamos fazer (aula prática curta):\n
  • O coeficiente de transferência de massa k_g relaciona o fluxo de matéria por unidade de área que chega à superfície com a diferença de concentração entre o bulk e a superfície; a forma linear é
N_A = k_g\,(C_A - C_{A S}).
Aqui N_A tem a mesma unidade da taxa r se ambas forem definidas por unidade de área; portanto, no regime estacionário a quantidade que chega pela convecção/difusão é a que é consumida pela reação. Assim, igualamos:
k_g\,(C_A - C_{A S}) = r.
  • O termo r no lado direito é a velocidade de reação na superfície; o enunciado diz que essa velocidade (por unidade de área) é
r=\frac{k_{1}C_{A S}}{1+k_{2}C_{A S}}.
Portanto, escrevemos a condição de balanço na superfície (igualdade fluxo ↔ reação) e obtemos uma equação que relaciona C_{A_S} e C_A. Em seguida resolvemos essa equação para C_{A_S} em função de C_A e substituímos em r para ter r(C_A).

Passo 3

Montando a equação que relaciona C_{A_S} e C_A: igualando fluxo e reação,
k_g\,(C_A - C_{A S}) = \frac{k_{1}C_{A S}}{1+k_{2}C_{A S}}.
Multiplico ambos os lados por (1+k_{2}C_{A S}) para eliminar o denominador:
k_g\,(C_A - C_{A S})(1+k_{2}C_{A S}) = k_{1}C_{A S}.
Agora eu desenvolvo o produto do lado esquerdo cuidadosamente (mostrando as contas passo a passo):
k_g\big(C_A(1+k_{2}C_{A S}) - C_{A S}(1+k_{2}C_{A S})\big) = k_{1}C_{A S}.
k_g\big(C_A + k_2 C_A C_{A S} - C_{A S} - k_2 C_{A S}^2\big) = k_1 C_{A S}.
Multiplico o k_g por cada termo:
k_g C_A + k_g k_2 C_A C_{A S} - k_g C_{A S} - k_g k_2 C_{A S}^2 = k_1 C_{A S}.
Reagrupo todos os termos para formar uma equação quadrática em C_{A S}. Levo tudo para o lado esquerdo:
- k_g k_2 C_{A S}^2 + \big(k_g k_2 C_A - k_g - k_1\big) C_{A S} + k_g C_A = 0.
Multiplico por -1 para ficar com coeficiente quadrático positivo:
k_g k_2 C_{A S}^2 + \big(k_g + k_1 - k_g k_2 C_A\big) C_{A S} - k_g C_A = 0.

Passo 4

Resolver a equação quadrática para C_{A S}. Identifico os coeficientes (para usar a fórmula quadrática):
a = k_g k_2,\qquad b = k_g + k_1 - k_g k_2 C_A,\qquad c = -k_g C_A.
A solução pelo discriminante é
C_{A S} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}.
Calculo o discriminante explicitamente (mostrando o detalhe):
b^2 - 4ac = \big(k_g + k_1 - k_g k_2 C_A\big)^2 - 4(k_g k_2)(-k_g C_A)
= \big(k_g + k_1 - k_g k_2 C_A\big)^2 + 4 k_g^2 k_2 C_A.
Como c<0 (pois -k_g C_A<0 para C_A>0), o termo extra é positivo e o discriminante é sempre maior que ou igual a zero (consistente fisicamente). A raiz fisicamente relevante é a que dá C_{A S}\ge0 e menor ou igual a C_A em situações normais; algebraicamente isso corresponde à escolha do sinal que gera a raiz positiva e fisicamente admissível. Tomamos o sinal + no numerador (isso fornece a solução física correta; pode verificar que com o sinal - às vezes dá raiz negativa ou não física). Assim,
C_{A S} = \frac{-\big(k_g + k_1 - k_g k_2 C_A\big) + \sqrt{\big(k_g + k_1 - k_g k_2 C_A\big)^2 + 4 k_g^2 k_2 C_A}}{2 k_g k_2}.

Passo 5

Agora escrevo a taxa r em função de C_A. Posso usar r = k_g (C_A - C_{A S}) (mais simples, vindo do balanço fluxo = reação) e substituir C_{A S} obtido. Faço essa substituição e simplifico a expressão para que fique compacta e explícita:\n
Primeiro escrevo r em termos de C_{A S}:
r = k_g\,(C_A - C_{A S}).
Substituindo C_{A S} pela solução acima e simplificando (faço as operações algébricas principais e mostro o resultado final simplificado), obtenho
r(C_A)=\frac{k_g C_A}{2}+\frac{k_g + k_1}{2k_2}-\frac{1}{2k_2}\sqrt{\big(k_g + k_1 - k_g k_2 C_A\big)^2+4k_g^2 k_2 C_A}.
Essa forma é algebraicamente equivalente a r=k_g\big(C_A - C_{A S}\big) com C_{A S} igual à raiz positiva mostrada no passo anterior. Ela dá a taxa de consumo de A (por unidade de área, no mesmo referencial das constantes) escrita explicitamente em função de C_A e das constantes k_g,k_1,k_2.

Passo 6

Interpretação física rápida (útil na prova):\n
  • Se transferência de massa for muito rápida ( k_g\to\infty), espera-se C_{A S}\to C_A e a expressão acima tende a
r\to \frac{k_1 C_A}{1+k_2 C_A},
ou seja, o regime controlado pela cinética (nenhuma perda por transporte). Pode checar fazendo o limite em k_g\to\infty na expressão de C_{A S}.\n
  • Se reação for muito rápida comparada à transferência ( k_1 grande), a superfície tende a esgotar A, e o termo de transferência limita a velocidade: r aproxima-se de k_g C_A (regime controlado por transporte). Essas checagens ajudam a entender se a expressão final faz sentido.\n
    Coragem — essa dedução é a forma padrão de juntar cinética não-linear com resistência de transporte externo.

Resposta

r(C_A)=\frac{k_g C_A}{2}+\frac{k_g + k_1}{2k_2}-\frac{1}{2k_2}\sqrt{\big(k_g + k_1 - k_g k_2 C_A\big)^2+4k_g^2 k_2 C_A}.

Exercícios relacionados