Um medidor Venturi foi instalado em dada canalização para medir vazão de água que ela conduzia. Sabendo-se que os diâmetros maior e menor do Venturi eram 250 mm e 125 mm , respectivamente, e que a diferença entre as elevações dos níveis d’água para cada vazão é igual a apresentada na tabela, calcule a curva de vazão por elevação teórica para este Venturi.
Elevação Vazão teórica
1500 mm 0,069 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}
1250 mm 0,063 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}
1000 mm 0,056 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}
750 mm 0,049 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}
500 mm 0,040 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Diâmetro maior do Venturi: d_1 = 250\\ \mathrm{mm}.
    • Diâmetro menor (garganta) do Venturi: d_2 = 125\\ \mathrm{mm}.
    • A tabela fornece pares “elevação” (diferença de níveis d’água) e a vazão teórica associada, para vários valores de elevação:
      • 1500\\ \mathrm{mm} \to 0,069\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}
      • 1250\\ \mathrm{mm} \to 0,063\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}
      • 1000\\ \mathrm{mm} \to 0,056\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}
      • 750\\ \mathrm{mm} \to 0,049\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}
      • 500\\ \mathrm{mm} \to 0,040\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}
  • O que se pede:
    • Calcular a curva teórica vazão Q em função da elevação \Delta h para este Venturi (ou seja, uma expressão Q(\Delta h)) e calcular os valores de Q para as elevações dadas (usar os dados fornecidos como referência).

Passo 2

Princípios físicos e as equações que vamos usar (explicação didática).
  • Continuidade (conservação da vazão): a mesma vazão Q atravessa qualquer seção da tubulação. Se A é a área da seção e v a velocidade média, então
Q = A_1 v_1 = A_2 v_2.
Aqui A_1 e v_1 são área e velocidade na seção ampla; A_2 e v_2 na garganta.
  • Bernoulli (hipótese: escoamento ideal, sem perdas significativas entre as seções): entre as seções 1 e 2,
\frac{p_1}{\rho}+\frac{v_1^2}{2}=\frac{p_2}{\rho}+\frac{v_2^2}{2},
onde p_1,p_2 são pressões estáticas, \rho é massa específica da água e v_1,v_2 velocidades médias.
  • Diferença de níveis d’água ( \Delta h) indicada pelo manômetro aberto corresponde à diferença de pressão entre as seções:
p_1-p_2=\rho g\,\Delta h.
Isso é porque a coluna de água no piezômetro traduz a diferença de pressão em altura.
  • Unindo Bernoulli e a leitura do manômetro:
p_1-p_2=\rho\frac{v_2^2-v_1^2}{2}=\rho g\,\Delta h.
Cancelando \rho e rearranjando:
g\,\Delta h=\frac{v_2^2-v_1^2}{2}.
  • Usando a continuidade para escrever v_1 em função de v_2: v_1=\dfrac{A_2}{A_1}v_2. Então
v_2^2\!\left(1-\left(\frac{A_2}{A_1}\right)^2\right)=2g\,\Delta h.
Logo
v_2=\sqrt{\frac{2g\,\Delta h}{1-\left(\dfrac{A_2}{A_1}\right)^2}}.
E a vazão teórica (ideal) é
\boxed{Q = A_2\,v_2 = A_2\sqrt{\frac{2g\,\Delta h}{1-\left(\dfrac{A_2}{A_1}\right)^2}}.}
Explicação das variáveis nesta fórmula:
  • Q: vazão volumétrica (m^3/s).
  • A_1,A_2: áreas das seções maior e menor (m^2).
  • g: aceleração da gravidade (usar g=9,81\\ \mathrm{m/s}^2).
  • \Delta h: diferença de nível do piezômetro (m).

Passo 3

Cálculo das áreas A_1 e A_2 a partir dos diâmetros (converter mm → m primeiro).
  • Converter diâmetros:
    d_1=250\\ \mathrm{mm}=0,25\\ \mathrm{m},\qquad d_2=125\\ \mathrm{mm}=0,125\\ \mathrm{m}.
  • Área de uma seção circular: A=\dfrac{\pi d^2}{4}. Então
A_1=\pi\frac{(0,25)^2}{4}=\pi\cdot 0,015625\approx 0,04909\\ \mathrm{m}^2,
A_2=\pi\frac{(0,125)^2}{4}=\pi\cdot 0,00390625\approx 0,01227\\ \mathrm{m}^2.

Passo 4

Simplificar a fórmula usando a razão A_2/A_1 e calcular a constante multiplicativa.
  • Calcular a razão:
\frac{A_2}{A_1}=\frac{0,01227185\ldots}{0,04908739\ldots}=0,25.
  • Calcular o fator no denominador:
1-\left(\frac{A_2}{A_1}\right)^2=1-(0,25)^2=1-0,0625=0,9375.
  • Substituindo em Q:
Q=A_2\sqrt{\frac{2g\,\Delta h}{0,9375}}.
  • Podemos escrever Q na forma
\boxed{Q(\Delta h)=K\sqrt{\Delta h}}
com
K = A_2\sqrt{\frac{2g}{0,9375}}.
  • Calcular numericamente K (usar g=9,81\\ \mathrm{m/s}^2):
2g=19,62, \qquad \frac{2g}{0,9375}= \frac{19,62}{0,9375}=20,928,
\sqrt{20,928}\approx 4,5744,
K=0,01227185\cdot 4,5744\approx 0,05612\\ \left(\mathrm{\frac{m^3}{s\cdot \sqrt{m}}}\right).
Logo a curva teórica é
\boxed{Q(\Delta h)=0,05612\;\sqrt{\Delta h}\quad\text{(com \(\Delta h\) em metros e \(Q\) em m}^3\!/\mathrm{s})}.

Passo 5

Calcular Q para as elevações dadas (converter mm→m e aplicar a expressão).
  • Para \Delta h=1500\\ \mathrm{mm}=1,5\\ \mathrm{m}:
\sqrt{1,5}=1,224745\ldots, \qquad Q=0,05612\cdot 1,224745\approx 0,0687\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
  • Para \Delta h=1250\\ \mathrm{mm}=1,25\\ \mathrm{m}:
\sqrt{1,25}=1,118034\ldots, \qquad Q=0,05612\cdot 1,118034\approx 0,0627\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
  • Para \Delta h=1000\\ \mathrm{mm}=1,0\\ \mathrm{m}:
\sqrt{1,0}=1,0, \qquad Q=0,05612\cdot 1,0\approx 0,05612\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
  • Para \Delta h=750\\ \mathrm{mm}=0,75\\ \mathrm{m}:
\sqrt{0,75}=0,8660254\ldots, \qquad Q=0,05612\cdot 0,8660254\approx 0,0486\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
  • Para \Delta h=500\\ \mathrm{mm}=0,5\\ \mathrm{m}:
\sqrt{0,5}=0,7071068\ldots, \qquad Q=0,05612\cdot 0,7071068\approx 0,0397\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
Observação: os valores arredondados para três casas decimais ficam próximos aos da tabela apresentada no enunciado (diferenças pequenas pela aproximação numérica e por considerar escoamento ideal sem coeficiente de descarga).

Passo 6

Resumo final: expressão analítica da curva e os valores calculados (arredondados).
  • Curva teórica:
Q(\Delta h)=0,05612\;\sqrt{\Delta h}\quad\text{(}\Delta h\\ \text{em m, }Q\\ \text{em m}^3/\mathrm{s}\text{)}.
  • Valores calculados (arredondados a 3 casas decimais):
\begin{aligned} \Delta h&=1,500\\ \mathrm{m}\quad &Q&\approx 0,069\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s},\\\ \Delta h&=1,250\\ \mathrm{m}\quad &Q&\approx 0,063\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s},\\\ \Delta h&=1,000\\ \mathrm{m}\quad &Q&\approx 0,056\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s},\\\ \Delta h&=0,750\\ \mathrm{m}\quad &Q&\approx 0,049\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s},\\\ \Delta h&=0,500\\ \mathrm{m}\quad &Q&\approx 0,040\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}. \end{aligned}

Resposta

1500 mm: 0,069\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}
1250 mm: 0,063\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}
1000 mm: 0,056\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}
750 mm: 0,049\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}
500 mm: 0,040\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}

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