10 Em uma indústria de café solúvel, é necessário transportar extrato de café com concentração de 20^{\circ} Brix, a 40^{\circ} \mathrm{C}, utilizando a instalação mostrada na Figura a seguir. A tubulação de sucção possui diâmetro nominal de 6" Schedule 40(D=154,06 \mathrm{~mm}), enquanto a tubulação de recalque tem diâmetro nominal de 4" Schedule 40(D=102,26 \mathrm{~mm}). O medidor de vazão é do tipo Venturi, com relação de diâmetros D_{2} / D_{1}=102,26 \mathrm{~mm} / 154,06 \mathrm{~mm}. A leitura no manômetro acoplado ao Venturi é de 54 cm de coluna de líquido manométrico, cuja massa específica é \rho_{m}=2780 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}. O coeficiente do Venturi fornecido pelo fabricante é C_{\text {Venturi }}=0,97.
A perda de energia mecânica total é \left(E_{f}\right)_{\text {Total }}=32,54 \mathrm{~J} / \mathrm{kg}, e a perda de energia mecânica apenas na sucção é \left(E_{f}\right)_{\text {sucćão }}=9,34 \mathrm{~J} / \mathrm{kg}. A planta está localizada em um local onde a pressão atmosférica é 1,024 \times 10^{2} \mathrm{kPa}. A tubulação é de aço inoxidobtidas por equações preditivas ável, com rugosidade próxima de zero. As propriedades do extrato de café ( 20^{\circ} \mathrm{Brix}, 40^{\circ} \mathrm{C} ) são (Telis-Romero et al., 2000, 2001, 2002):
Determine:
(i) a velocidade média do fluido nas linhas de sucção e recalque, bem como as vazões mássica e volumétrica do extrato;
(ii) a potência da bomba;
(iii) considerando que o catálogo da bomba fornece \mathrm{NPSH}_{\text {bomba }}=3 m.c.a, ocorrerá cavitação?
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
(i) determinar as velocidades médias do fluido nas linhas de sucção e de recalque e as vazões mássica e volumétrica do extrato;
(ii) calcular a potência da bomba;
(iii) verificar se ocorrerá cavitação dado \mathrm{NPSH}_{\text{bomba}}=3\\ \mathrm{m.c.a.}
Dados extraídos do enunciado:
Diâmetro da sucção: D_{1}=0{,}15406\\ \mathrm{m} (6" Sch.40).
Diâmetro do recalque (e gargalo do Venturi): D_{2}=0{,}10226\\ \mathrm{m} (4" Sch.40).
Relação dada: D_{2}/D_{1}=0{,}10226/0{,}15406.
Leitura do manômetro ligada ao Venturi: h_{m}=54\\ \mathrm{cm}=0{,}54\\ \mathrm{m}.
Massa específica do fluido do manômetro: \rho_{m}=2780\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
Coeficiente do Venturi: C_{\text{Venturi}}=0{,}97.
Propriedades do extrato: \rho=1062{,}7\\ \mathrm{kg/m^{3}},\\ \mu=1{,}45\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s},\\ P_{v}=4{,}37\\ \mathrm{kPa}.
Perda de energia mecânica total (específica): \left(E_{f}\right)_{\text{Total}}=32{,}54\\ \mathrm{J/kg}.
Perda de energia mecânica só na sucção (específica): \left(E_{f}\right)_{\text{sucção}}=9{,}34\\ \mathrm{J/kg}.
Aceleração da gravidade: g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Observação: a figura mencionada não foi enviada, mas todos os dados numéricos necessários para as contas estão no enunciado; portanto a resolução é possível.
Passo 2
Princípio do Venturi e expressão para a vazão: explicação didática antes de aplicar números.
Continuidade: a vazão volumétrica Q é a mesma nas duas seções:
Q = A_{1} V_{1} = A_{2} V_{2},
onde A_{i}=\dfrac{\pi D_{i}^{2}}{4} é a área da seção i e V_{i} é a velocidade média nessa seção.
Bernoulli entre as seções 1 (ampla) e 2 (gargalo), desprezando compressibilidade e assumindo que a diferença de pressão medida pelo manômetro é \Delta p = p_{1}-p_{2}: a equação clássica leva à relação (após manipulações e usando a continuidade)
\rho\left(1-\left(\frac{A_{2}}{A_{1}}\right)^{2}\right) \\ \text{(atenção: já usamos o quadrado da razão das áreas acima, logo é \(1-(A_2/A_1)\))}.çãáãáé
Observação de notação: na fórmula o termo é 1-(A_{2}/A_{1})^{2}. Como já calculamos (D_2/D_1)^2 que é igual a A_2/A_1, então o termo é 1-(A_2/A_1). Para evitar confusão, usamos os valores numéricos:
Comentário prático: a velocidade maior ocorre na linha de recalque (diâmetro menor), como esperado pela continuidade.
Passo 4
Cálculo da potência da bomba: método e aplicação.
Ideia: a potência que a bomba deve fornecer é a vazão mássica multiplicada pela energia por unidade de massa que a bomba precisa adicionar ao fluido. Em forma simples (entre entrada e saída da bomba), a energia por unidade de massa fornecida pela bomba w_{p} pode ser escrita como a soma das perdas totais mais a variação de energia cinética (se não houver variação de elevação ou de pressão estática entre reservatórios abertos). Aqui usamos a informação dada de perda total específica \left(E_{f}\right)_{\text{Total}} (em \mathrm{J/kg}) e calculamos a variação de energia cinética por unidade de massa:
Observação: aqui assumiu-se que não há diferença de elevação útil entre entrada e saída que precise ser contabilizada (não havia dado de altura de sucção/descarga), e que as perdas totais fornecidas no enunciado já englobam as perdas distribuídas e locais ao longo do trajeto. Se houvesse uma elevação de recalque conhecida, ela deveria ser adicionada em energia por unidade de massa.
Passo 5
Cálculo do \mathrm{NPSH}_{\text{available}} (NPSHa) e verificação de cavitação: explicação e cálculo.
Definição e fórmula prática (para um sistema com entrada em reservatório aberto): a NPSH disponível na entrada da bomba é a pressão absoluta líquida expressa em metros de coluna de fluido acima da pressão de vapor, tomando em conta as perdas na sucção e a energia cinética na entrada. A expressão conveniente é
Como \mathrm{NPSH}_{\text{a}} é muito maior que \mathrm{NPSH}_{\text{bomba}}, não ocorrerá cavitação no ponto de operação calculado; existe margem de segurança.