10 Em uma indústria de café solúvel, é necessário transportar extrato de café com concentração de 20^{\circ} Brix, a 40^{\circ} \mathrm{C}, utilizando a instalação mostrada na Figura a seguir. A tubulação de sucção possui diâmetro nominal de 6" Schedule 40(D=154,06 \mathrm{~mm}), enquanto a tubulação de recalque tem diâmetro nominal de 4" Schedule 40(D=102,26 \mathrm{~mm}). O medidor de vazão é do tipo Venturi, com relação de diâmetros D_{2} / D_{1}=102,26 \mathrm{~mm} / 154,06 \mathrm{~mm}. A leitura no manômetro acoplado ao Venturi é de 54 cm de coluna de líquido manométrico, cuja massa específica é \rho_{m}=2780 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}. O coeficiente do Venturi fornecido pelo fabricante é C_{\text {Venturi }}=0,97.
A perda de energia mecânica total é \left(E_{f}\right)_{\text {Total }}=32,54 \mathrm{~J} / \mathrm{kg}, e a perda de energia mecânica apenas na sucção é \left(E_{f}\right)_{\text {sucćão }}=9,34 \mathrm{~J} / \mathrm{kg}ćã. A planta está localizada em um local onde a pressão atmosférica é 1,024 \times 10^{2} \mathrm{kPa}. A tubulação é de aço inoxidobtidas por equações preditivas ável, com rugosidade próxima de zero. As propriedades do extrato de café ( 20^{\circ} \mathrm{Brix}, 40^{\circ} \mathrm{C} ) são (Telis-Romero et al., 2000, 2001, 2002):
\mu=1,45 \times 10^{-3} \mathrm{~Pa} \cdot \mathrm{~s}, \rho=1062,7 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, P_{v}=4,37 \mathrm{kPa} .
Determine:
(i) a velocidade média do fluido nas linhas de sucção e recalque, bem como as vazões mássica e volumétrica do extrato;
(ii) a potência da bomba;
(iii) considerando que o catálogo da bomba fornece \mathrm{NPSH}_{\text {bomba }}=3 m.c.a, ocorrerá cavitação?

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
(i) determinar as velocidades médias do fluido nas linhas de sucção e de recalque e as vazões mássica e volumétrica do extrato;
(ii) calcular a potência da bomba;
(iii) verificar se ocorrerá cavitação dado \mathrm{NPSH}_{\text{bomba}}=3\\ \mathrm{m.c.a.}
Dados extraídos do enunciado:
  • Diâmetro da sucção: D_{1}=0{,}15406\\ \mathrm{m} (6" Sch.40).
  • Diâmetro do recalque (e gargalo do Venturi): D_{2}=0{,}10226\\ \mathrm{m} (4" Sch.40).
  • Relação dada: D_{2}/D_{1}=0{,}10226/0{,}15406.
  • Leitura do manômetro ligada ao Venturi: h_{m}=54\\ \mathrm{cm}=0{,}54\\ \mathrm{m}.
  • Massa específica do fluido do manômetro: \rho_{m}=2780\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Coeficiente do Venturi: C_{\text{Venturi}}=0{,}97.
  • Propriedades do extrato: \rho=1062{,}7\\ \mathrm{kg/m^{3}},\\ \mu=1{,}45\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s},\\ P_{v}=4{,}37\\ \mathrm{kPa}.
  • Perda de energia mecânica total (específica): \left(E_{f}\right)_{\text{Total}}=32{,}54\\ \mathrm{J/kg}.
  • Perda de energia mecânica só na sucção (específica): \left(E_{f}\right)_{\text{sucção}}=9{,}34\\ \mathrm{J/kg}.çã
  • Pressão atmosférica: p_{atm}=1{,}024\times10^{2}\\ \mathrm{kPa}=102{,}4\\ \mathrm{kPa}.
  • Aceleração da gravidade: g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Observação: a figura mencionada não foi enviada, mas todos os dados numéricos necessários para as contas estão no enunciado; portanto a resolução é possível.

Passo 2

Princípio do Venturi e expressão para a vazão: explicação didática antes de aplicar números.
  • Continuidade: a vazão volumétrica Q é a mesma nas duas seções:
Q = A_{1} V_{1} = A_{2} V_{2},
onde A_{i}=\dfrac{\pi D_{i}^{2}}{4} é a área da seção i e V_{i} é a velocidade média nessa seção.
  • Bernoulli entre as seções 1 (ampla) e 2 (gargalo), desprezando compressibilidade e assumindo que a diferença de pressão medida pelo manômetro é \Delta p = p_{1}-p_{2}: a equação clássica leva à relação (após manipulações e usando a continuidade)
V_{2}=\sqrt{\dfrac{2\Delta p}{\rho\left(1-\left(\dfrac{A_{2}}{A_{1}}\right)^{2}\right)}}.
O fabricante fornece o coeficiente C_{\text{Venturi}} que corrige a vazão real; assim a vazão volumétrica medida pelo Venturi é
Q = C_{\text{Venturi}}\,A_{2}\,V_{2} = C_{\text{Venturi}}\,A_{2}\, \sqrt{\dfrac{2\,\Delta p}{\rho\left(1-\left(\dfrac{A_{2}}{A_{1}}\right)^{2}\right)}}.
  • A diferença de pressão \Delta p é obtida a partir da leitura do manômetro cheio com líquido de densidade \rho_{m}:
\Delta p = \rho_{m} g h_{m}.
Agora vamos aplicar numericamente.
Cálculo de \Delta p:
\Delta p = \rho_{m} g h_{m} = 2780\cdot 9{,}81\cdot 0{,}54.
\Delta p \approx 2780\cdot 5{,}2974 \approx 14723{,}8\\ \mathrm{Pa}.

Passo 3

Cálculo das áreas, razão entre áreas e da vazão:
  • Áreas:
A_{1}=\frac{\pi D_{1}^{2}}{4}=\frac{\pi (0{,}15406)^{2}}{4}\approx 0{,}018633\\ \mathrm{m^{2}},
A_{2}=\frac{\pi D_{2}^{2}}{4}=\frac{\pi (0{,}10226)^{2}}{4}\approx 0{,}008206\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Razão de áreas:
\left(\frac{A_{2}}{A_{1}}\right)=\left(\frac{D_{2}}{D_{1}}\right)^{2} \approx \left(\frac{0{,}10226}{0{,}15406}\right)^{2}\approx 0{,}44062.
  • Termo no denominador da raiz:
\rho\left(1-\left(\frac{A_{2}}{A_{1}}\right)^{2}\right) \\ \text{(atenção: já usamos o quadrado da razão das áreas acima, logo é \(1-(A_2/A_1)\))}.çãáãáé
Observação de notação: na fórmula o termo é 1-(A_{2}/A_{1})^{2}. Como já calculamos (D_2/D_1)^2 que é igual a A_2/A_1, então o termo é 1-(A_2/A_1). Para evitar confusão, usamos os valores numéricos:
1-\left(\frac{A_{2}}{A_{1}}\right)=1-0{,}44062=0{,}55938.
\rho\left(1-\frac{A_{2}}{A_{1}}\right)=1062{,}7\cdot 0{,}55938\approx 594{,}722\\ \mathrm{kg/(m\cdot s^{2})}.
  • Agora a raiz:
\sqrt{\dfrac{2\Delta p}{\rho\left(1-\dfrac{A_{2}}{A_{1}}\right)}} = \sqrt{\dfrac{2\cdot 14723{,}8}{594{,}722}} \approx \sqrt{49{,}557}\approx 7{,}038\\ \mathrm{m/s}.
  • Vazão volumétrica:
Q = C_{\text{Venturi}}\,A_{2}\,\sqrt{\dfrac{2\Delta p}{\rho\left(1-\dfrac{A_{2}}{A_{1}}\right)}} =0{,}97\cdot 0{,}008206\cdot 7{,}038 \approx 0{,}05600\\ \mathrm{m^{3}/s}.
  • Vazão mássica:
\dot{m}=\rho Q =1062{,}7\cdot 0{,}05600 \approx 59{,}51\\ \mathrm{kg/s}.
  • Velocidades médias nas linhas:
V_{1}=\frac{Q}{A_{1}}=\frac{0{,}05600}{0{,}018633}\approx 3{,}00\\ \mathrm{m/s},
V_{2}=\frac{Q}{A_{2}}=\frac{0{,}05600}{0{,}008206}\approx 6{,}82\\ \mathrm{m/s}.
Comentário prático: a velocidade maior ocorre na linha de recalque (diâmetro menor), como esperado pela continuidade.

Passo 4

Cálculo da potência da bomba: método e aplicação.
  • Ideia: a potência que a bomba deve fornecer é a vazão mássica multiplicada pela energia por unidade de massa que a bomba precisa adicionar ao fluido. Em forma simples (entre entrada e saída da bomba), a energia por unidade de massa fornecida pela bomba w_{p} pode ser escrita como a soma das perdas totais mais a variação de energia cinética (se não houver variação de elevação ou de pressão estática entre reservatórios abertos). Aqui usamos a informação dada de perda total específica \left(E_{f}\right)_{\text{Total}} (em \mathrm{J/kg}) e calculamos a variação de energia cinética por unidade de massa:
\Delta\left(\frac{V^{2}}{2}\right)=\frac{V_{2}^{2}-V_{1}^{2}}{2}.
Portanto a energia específica que a bomba deve fornecer é
w_{p}=\left(E_{f}\right)_{\text{Total}}+\frac{V_{2}^{2}-V_{1}^{2}}{2}.
  • Calculemos \Delta(V^{2}/2):
\frac{V_{2}^{2}-V_{1}^{2}}{2}=\frac{6{,}82^{2}-3{,}00^{2}}{2} =\frac{46{,}59-9{,}00}{2}\approx 18{,}77\\ \mathrm{J/kg}.
  • Energia específica total fornecida pela bomba:
w_{p}=32{,}54 + 18{,}77 \approx 51{,}31\\ \mathrm{J/kg}.
  • Potência da bomba:
P=\dot{m}\,w_{p}=59{,}51\cdot 51{,}31 \approx 3053\\ \mathrm{W}\approx 3{,}05\\ \mathrm{kW}.
Observação: aqui assumiu-se que não há diferença de elevação útil entre entrada e saída que precise ser contabilizada (não havia dado de altura de sucção/descarga), e que as perdas totais fornecidas no enunciado já englobam as perdas distribuídas e locais ao longo do trajeto. Se houvesse uma elevação de recalque conhecida, ela deveria ser adicionada em energia por unidade de massa.

Passo 5

Cálculo do \mathrm{NPSH}_{\text{available}} (NPSHa) e verificação de cavitação: explicação e cálculo.
  • Definição e fórmula prática (para um sistema com entrada em reservatório aberto): a NPSH disponível na entrada da bomba é a pressão absoluta líquida expressa em metros de coluna de fluido acima da pressão de vapor, tomando em conta as perdas na sucção e a energia cinética na entrada. A expressão conveniente é
\mathrm{NPSH}_{\text{a}}=\frac{p_{atm}}{\rho g}-\frac{p_{v}}{\rho g}+\frac{V_{1}^{2}}{2g}-\frac{\left(E_{f}\right)_{\text{sucção}}}{g},çã
onde todos os termos estão em metros de fluido ( \mathrm{m.c.a.}).
  • Calculemos cada termo:
\frac{p_{atm}}{\rho g}=\frac{102400}{1062{,}7\cdot 9{,}81}\approx 9{,}820\\ \mathrm{m},
\frac{p_{v}}{\rho g}=\frac{4370}{1062{,}7\cdot 9{,}81}\approx 0{,}419\\ \mathrm{m},
\frac{V_{1}^{2}}{2g}=\frac{3{,}00^{2}}{2\cdot 9{,}81}\approx 0{,}460\\ \mathrm{m},
\frac{\left(E_{f}\right)_{\text{sucção}}}{g}=\frac{9{,}34}{9{,}81}\approx 0{,}953\\ \mathrm{m}.çã
  • Agora a NPSHa:
\mathrm{NPSH}_{\text{a}}=9{,}820-0{,}419+0{,}460-0{,}953\approx 8{,}91\\ \mathrm{m.c.a.}
  • Comparação com a exigência do catálogo:
\mathrm{NPSH}_{\text{a}}\approx 8{,}91\\ \mathrm{m.c.a.}\quad\text{vs}\quad \mathrm{NPSH}_{\text{bomba}}=3{,}0\\ \mathrm{m.c.a.}
Como \mathrm{NPSH}_{\text{a}} é muito maior que \mathrm{NPSH}_{\text{bomba}}, não ocorrerá cavitação no ponto de operação calculado; existe margem de segurança.

Resposta

(i) V_{\text{sucção}}=3{,}00\\ \mathrm{m/s},\quad V_{\text{recalque}}=6{,}82\\ \mathrm{m/s}çã
\dot{Q}=0{,}05600\\ \mathrm{m^{3}/s},\quad \dot{m}=59{,}51\\ \mathrm{kg/s}
(ii) P_{\text{bomba}}\approx 3{,}05\\ \mathrm{kW}
(iii) Não ocorrerá cavitação: \mathrm{NPSH}_{\text{a}}\approx 8{,}91\\ \mathrm{m.c.a.} > \mathrm{NPSH}_{\text{bomba}}=3{,}0\\ \mathrm{m.c.a.}

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