Um tanque de ar comprimido apresenta um volume igual a 2,38 \times 10^{-2} \mathrm{~m}^{3}. Determine a massa específica e o peso do ar contido no tanque quando a pressão
relativa do ar no tanque for igual a 340 kPa . Admita que a temperatura do ar no tanque é 21^{\circ} \mathrm{C} e que a pressão atmosférica vale 101,3 \mathrm{kPa}. A constante do gás para o ar é R=287(J/kg K). (5,23 kg/m \left.{ }^{\mathbf{3}} ; \mathbf{1 , 2 2 ~ N}\right)

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar tudo claramente):
  • Volume do ar no tanque: V=2,38\times10^{-2}\\ \mathrm{m}^3.
  • Pressão relativa (gauge) do ar no tanque: p_{\text{rel}}=340\\ \mathrm{kPa}.
  • Pressão atmosférica: p_{\text{atm}}=101{,}3\\ \mathrm{kPa}.
  • Temperatura no tanque: T_{\text{C}}=21^\circ\mathrm{C}.
  • Constante específica do ar: R=287\\ \mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}.
    O que o problema pede:
  1. Determinar a massa específica (densidade) do ar contido no tanque, isto é \rho em \mathrm{kg\,m^{-3}}.
  2. Determinar o peso do ar contido no tanque, isto é a força-peso W em newtons.

Passo 2

Qual é a lei física que usamos e por quê (explicação didática)?
  • Para gases em condições comuns o ar pode ser tratado como gás ideal. A lei dos gases ideais na forma útil aqui é
pV = m R T,
onde:
  • p é a pressão absoluta do gás (em pascal, \mathrm{Pa}),
  • V é o volume ocupado pelo gás (em \mathrm{m^3}),
  • m é a massa do gás (em \mathrm{kg}),
  • R é a constante específica do gás ( \mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}),
  • T é a temperatura em Kelvin ( \mathrm{K}).
  • Da relação acima podemos obter a massa específica (densidade) \rho = \dfrac{m}{V}. Substituindo m = \dfrac{pV}{RT} obtemos a forma direta para \rho:
\rho=\frac{m}{V}=\frac{p}{R T}.
  • Observação importante: usar p absoluto. Se o enunciado fornece pressão relativa (gauge), a pressão absoluta é
p = p_{\text{atm}} + p_{\text{rel}}.

Passo 3

Converter unidades e calcular a pressão absoluta:
  • Primeiro transformar kPa para Pa (1 kPa = 10^{3}\\ \mathrm{Pa}).
p_{\text{rel}} = 340\\ \mathrm{kPa}=340\times10^{3}\\ \mathrm{Pa}, \qquad p_{\text{atm}}=101{,}3\\ \mathrm{kPa}=101{,}3\times10^{3}\\ \mathrm{Pa}.
  • Pressão absoluta:
p = p_{\text{atm}} + p_{\text{rel}} = (101{,}3+340)\times10^{3}\\ \mathrm{Pa} = 441{,}3\times10^{3}\\ \mathrm{Pa}.
(ou seja p=441{,}3\\ \mathrm{kPa}=441300\\ \mathrm{Pa}.)

Passo 4

Converter a temperatura Celsius para Kelvin:
  • Regra: T(\mathrm{K}) = T(^{\circ}\mathrm{C}) + 273{,}15.
T = 21 + 273{,}15 = 294{,}15\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Calcular a massa específica \rho usando \rho=\dfrac{p}{R T}. Vou mostrar as contas detalhadamente.
  • Substituindo valores:
\rho = \frac{441300}{287\cdot 294{,}15}\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}.
  • Calcular o denominador passo a passo:
287\cdot 294{,}15 = 287\cdot 294 + 287\cdot 0{,}15 = 84378 + 43{,}05 = 84421{,}05.
  • Portanto
\rho = \frac{441300}{84421{,}05}\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}\approx 5{,}227\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}.
  • Arredondando com três algarismos significativos (comum em engenharia), obtemos
\rho \approx 5{,}23\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}.

Passo 6

Calcular a massa do ar no tanque:
  • Relação: m=\rho V.
  • Substituindo \rho e V:
m = 5{,}227\cdot 2{,}38\times10^{-2}\\ \mathrm{kg}.
  • Fazer a multiplicação:
m \approx 5{,}227\times 0{,}0238 \approx 0{,}1244\\ \mathrm{kg}.
  • Arredondando adequadamente:
m \approx 0{,}124\\ \mathrm{kg}.

Passo 7

Calcular o peso (força-peso) do ar:
  • A força-peso é W = m g, onde g é a aceleração da gravidade. Usamos g=9{,}81\\ \mathrm{m\,s^{-2}}.
W = 0{,}1244\cdot 9{,}81\\ \mathrm{N} \approx 1{,}22\\ \mathrm{N}.
  • Arredondando:
W \approx 1{,}22\\ \mathrm{N}.

Passo 8

Interpretação rápida e verificação:
  • A densidade encontrada \rho\approx5{,}23\\ \mathrm{kg\,m^{-3}} faz sentido: é maior que a densidade do ar ao nível do mar em temperatura ambiente (≈1,2 \mathrm{kg\,m^{-3}}) porque aqui a pressão absoluta é bem maior (tanque pressurizado).
  • O peso muito pequeno ( 1{,}22\\ \mathrm{N}) corresponde à massa pequena de ar confinado no volume reduzido do tanque.

Resposta

\rho \approx 5{,}23\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}
W \approx 1{,}22\\ \mathrm{N}

Exercícios relacionados