Para medir a altura da estátua do Cristo Redentor em Três Lagoas, uma pessoa, a uma distância de 20m da estátua, observa o topo sob um ângulo X. Caminhando em direção à estátua, quando o observador está a 5m da estátua, ele observa o topo sob um ângulo 2x. Desprezando a altura do pedestal, a altura da estátua em metros é:
A) 5√2.
B) 10√2.
C) 15√2.
D) 20√2.
E) 25√2.
A) 5√2.
B) 10√2.
C) 15√2.
D) 20√2.
E) 25√2.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir a altura da estátua do Cristo Redentor em Três Lagoas. Para isso, uma pessoa observa o topo da estátua de dois lugares diferentes: primeiro a 20 metros de distância, vendo o topo com um ângulo X, e depois, andando para mais perto, a 5 metros, vendo o topo com um ângulo duplo, 2X. Vamos usar trigonometria para resolver isso, especificamente as funções relacionadas a ângulos de visão e tangentes.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar uma situação imaginária. Imagine um triângulo retângulo onde a altura da estátua é o cateto oposto e a distância do observador é o cateto adjacente. No primeiro ponto, a 20 metros, temos o ângulo X. A tangente de X (tan X) é igual a altura (h) dividida pela distância (20 metros).
Então, temos:
Passo 3
Agora, quando a pessoa anda até ficar a 5 metros da estátua, o ângulo que ela vê o topo é 2X. Então, a tangente desse ângulo, tan(2X), é igual à altura da estátua dividida pela nova distância (5 metros).
Portanto:
Passo 4
Sabemos que a tangente de um ângulo duplo, tan(2X), pode ser expressa usando a fórmula:
Vamos substituir
pela expressão que encontramos no Passo 2.
Passo 5
Substituindo
na fórmula da tangente do ângulo duplo:
Simplificando isso, ficamos com:
Passo 6
Lembrando que
(do Passo 3), podemos igualar as duas expressões:
Como
, podemos cancelar
dos dois lados:
Passo 7
Agora, vamos resolver essa equação:
Subtraindo 10 de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por -1:
Passo 8
Multiplicando ambos os lados por 40 para isolar
:
Passo 9
Agora, tirando a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar
:
Resposta
A altura da estátua é
metros.