Para medir a altura da estátua do Cristo Redentor em Três Lagoas, uma pessoa, a uma distância de 20m da estátua, observa o topo sob um ângulo X. Caminhando em direção à estátua, quando o observador está a 5m da estátua, ele observa o topo sob um ângulo 2x. Desprezando a altura do pedestal, a altura da estátua em metros é:
A) 5√2.
B) 10√2.
C) 15√2.
D) 20√2.
E) 25√2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir a altura da estátua do Cristo Redentor em Três Lagoas. Para isso, uma pessoa observa o topo da estátua de dois lugares diferentes: primeiro a 20 metros de distância, vendo o topo com um ângulo X, e depois, andando para mais perto, a 5 metros, vendo o topo com um ângulo duplo, 2X. Vamos usar trigonometria para resolver isso, especificamente as funções relacionadas a ângulos de visão e tangentes.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar uma situação imaginária. Imagine um triângulo retângulo onde a altura da estátua é o cateto oposto e a distância do observador é o cateto adjacente. No primeiro ponto, a 20 metros, temos o ângulo X. A tangente de X (tan X) é igual a altura (h) dividida pela distância (20 metros).
Então, temos:
tan(X) = h20

Passo 3

Agora, quando a pessoa anda até ficar a 5 metros da estátua, o ângulo que ela vê o topo é 2X. Então, a tangente desse ângulo, tan(2X), é igual à altura da estátua dividida pela nova distância (5 metros).
Portanto:
tan(2X) = h5

Passo 4

Sabemos que a tangente de um ângulo duplo, tan(2X), pode ser expressa usando a fórmula:
tan(2X) = 2 tan(X)1 - tan^2(X)
Vamos substituir tan(X) pela expressão que encontramos no Passo 2.

Passo 5

Substituindo tan(X) = h20 na fórmula da tangente do ângulo duplo:
tan(2X) = 2 cdot h201 - (h20)^2
Simplificando isso, ficamos com:
tan(2X) = h101 - h^2400 = h10 - h^240

Passo 6

Lembrando que tan(2X) = h5 (do Passo 3), podemos igualar as duas expressões:
h10 - h^240 = h5
Como h neq 0, podemos cancelar h dos dois lados:
110 - h^240 = 15

Passo 7

Agora, vamos resolver essa equação:
10 - h^240 = 5
Subtraindo 10 de ambos os lados:
- h^240 = -5
Multiplicando ambos os lados por -1:
h^240 = 5

Passo 8

Multiplicando ambos os lados por 40 para isolar h^2:
h^2 = 5 times 40
h^2 = 200

Passo 9

Agora, tirando a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar h:
h = raiz200 = raiz100 times 2 = 10raiz2

Resposta

A altura da estátua é 10raiz2 metros.

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