Para medir a taxa de escoamento de massa de um fluido em um escoamento laminar ao longo de uma tubulação circular, um medidor de velocidade de filamento incandescente é posicionado no centro da tubulação. Supondo que o ponto de medição esteja afastado da entrada da tubulação, a distribuição de velocidade é parabólica:
u(r) / U_{\operatorname{máx}}=\left[1-(2 r / D)^{2}\right]
onde U_{\text {máx }}á é a velocidade na linha central (r=0), r é a distância radial a partir da linha central da tubulação, e D é o diâmetro da tubulação. (a) Obtenha uma expressão para a velocidade média do fluido na seção transversal em termos de U_{\text {máx }}á e D. (b) Obtenha uma expressão para a taxa de fluxo de massa.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados do enunciado:
    • A distribuição de velocidade radial é \dfrac{u(r)}{U_{\max}} = \left[1 - \left(\dfrac{2r}{D}\right)^2\right].
    • U_{\max} é a velocidade no centro da tubulação (em r=0).
    • r é a coordenada radial (distância ao eixo).
    • D é o diâmetro da tubulação.
  • O que o enunciado pede:
    • (a) Obter a velocidade média do fluido na seção transversal em termos de U_{\max} e D.
    • (b) Obter a expressão para a taxa de fluxo de massa (em função de \rho, U_{\max} e D, assumindo densidade \rho).

Passo 2

Primeiro, organizar a forma conveniente da lei de velocidade. Defina o raio \;R=\dfrac{D}{2}. Assim,
\left(\dfrac{2r}{D}\right)^2=\left(\dfrac{r}{R}\right)^2,
e portanto a velocidade em função de r fica
u(r)=U_{\max}\!\left(1-\left(\dfrac{r}{R}\right)^2\right).
Agora preciso da definição de velocidade média na seção: a velocidade média \bar{U} é a vazão volumétrica Q dividida pela área da seção A,
\bar{U}=\dfrac{Q}{A},
onde a vazão volumétrica é a integral da velocidade sobre a área:
Q=\int_{A} u\,\mathrm{d}A.

Passo 3

Explicar o elemento de área em coordenadas polares (porque a velocidade depende só de r). A área de uma coroa de raio r e espessura \mathrm{d}r vale \mathrm{d}A = 2\pi r\,\mathrm{d}r. A área total da seção é
A=\pi R^{2}=\pi\left(\dfrac{D}{2}\right)^{2}=\dfrac{\pi D^{2}}{4}.
Portanto a vazão é
Q=\int_{0}^{R} u(r)\,2\pi r\,\mathrm{d}r.

Passo 4

Calcular explicitamente Q substituindo u(r):
Q=2\pi \int_{0}^{R} U_{\max}\!\left(1-\left(\dfrac{r}{R}\right)^2\right) r\,\mathrm{d}r.
Coloca U_{\max} fora da integral:
Q=2\pi U_{\max}\int_{0}^{R} \left(r - \dfrac{r^{3}}{R^{2}}\right)\mathrm{d}r.
Calcule as primitivas termo a termo:
\int_{0}^{R} r\,\mathrm{d}r = \left.\dfrac{r^{2}}{2}\right|_{0}^{R} = \dfrac{R^{2}}{2}, \qquad \int_{0}^{R} r^{3}\,\mathrm{d}r = \left.\dfrac{r^{4}}{4}\right|_{0}^{R} = \dfrac{R^{4}}{4}.
Substituindo:
Q=2\pi U_{\max}\left(\dfrac{R^{2}}{2} - \dfrac{1}{R^{2}}\cdot\dfrac{R^{4}}{4}\right) =2\pi U_{\max}\left(\dfrac{R^{2}}{2} - \dfrac{R^{2}}{4}\right).
Q=2\pi U_{\max}\cdot\dfrac{R^{2}}{4} = \dfrac{\pi}{2} U_{\max} R^{2}.

Passo 5

Agora a velocidade média \bar{U}=Q/A. Como A=\pi R^{2},
\bar{U}=\dfrac{Q}{A}=\dfrac{\dfrac{\pi}{2} U_{\max} R^{2}}{\pi R^{2}}=\dfrac{U_{\max}}{2}.
Comentário físico curto: isso significa que, para esse perfil parabólico laminar, a velocidade máxima no centro é o dobro da velocidade média da seção ( U_{\max}=2\bar{U}). Esta é uma relação clássica e útil na prova — memorize!

Passo 6

Expressar a vazão volumétrica Q em termos de D (usar R=D/2):
Q=\dfrac{\pi}{2} U_{\max} R^{2} = \dfrac{\pi}{2} U_{\max}\left(\dfrac{D}{2}\right)^{2} = \dfrac{\pi D^{2}}{8}\,U_{\max}.
A taxa de fluxo de massa \dot{m} relaciona-se com a vazão volumétrica por
\dot{m}=\rho\,Q,
onde \rho é a densidade do fluido. Substituindo Q,
\dot{m}=\rho\,\dfrac{\pi D^{2}}{8}\,U_{\max}.
Alternativamente pode-se escrever \dot{m}=\rho A \bar{U}, que leva ao mesmo valor porque A=\dfrac{\pi D^{2}}{4} e \bar{U}=U_{\max}/2.

Passo 7

Resumo / verificação rápida: a conta é simples quando se lembra de usar coordenadas polares e que o elemento de área é 2\pi r\,\mathrm{d}r. Se precisar decorar, guarde: para perfil parabólico u(r)=U_{\max}(1-(r/R)^{2}) tem \bar{U}=U_{\max}/2 e Q=\pi R^{2} \bar{U} = \pi D^{2}U_{\max}/8. Força aí — você tá indo bem!

Resposta

(a) \bar{U}=\dfrac{U_{\max}}{2}.
(b) \dot{m}=\rho\,\dfrac{\pi D^{2}}{8}\,U_{\max}.

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