Para medir a taxa de escoamento de massa de um fluido em um escoamento laminar ao longo de uma tubulação circular, um medidor de velocidade de filamento incandescente é posicionado no centro da tubulação. Supondo que o ponto de medição esteja afastado da entrada da tubulação, a distribuição de velocidade é parabólica:
u(r) / U_{\operatorname{máx}}=\left[1-(2 r / D)^{2}\right]
onde U_{\text {máx }} é a velocidade na linha central (r=0), r é a distância radial a partir da linha central da tubulação, e D é o diâmetro da tubulação. (a) Obtenha uma expressão para a velocidade média do fluido na seção transversal em termos de U_{\text {máx }} e D. (b) Obtenha uma expressão para a taxa de fluxo de massa.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados do enunciado:
A distribuição de velocidade radial é \dfrac{u(r)}{U_{\max}} = \left[1 - \left(\dfrac{2r}{D}\right)^2\right].
U_{\max} é a velocidade no centro da tubulação (em r=0).
r é a coordenada radial (distância ao eixo).
D é o diâmetro da tubulação.
O que o enunciado pede:
(a) Obter a velocidade média do fluido na seção transversal em termos de U_{\max} e D.
(b) Obter a expressão para a taxa de fluxo de massa (em função de \rho, U_{\max} e D, assumindo densidade \rho).
Passo 2
Primeiro, organizar a forma conveniente da lei de velocidade. Defina o raio \;R=\dfrac{D}{2}. Assim,
Agora preciso da definição de velocidade média na seção: a velocidade média \bar{U} é a vazão volumétrica Q dividida pela área da seção A,
\bar{U}=\dfrac{Q}{A},
onde a vazão volumétrica é a integral da velocidade sobre a área:
Q=\int_{A} u\,\mathrm{d}A.
Passo 3
Explicar o elemento de área em coordenadas polares (porque a velocidade depende só de r). A área de uma coroa de raio r e espessura \mathrm{d}r vale \mathrm{d}A = 2\pi r\,\mathrm{d}r. A área total da seção é
Comentário físico curto: isso significa que, para esse perfil parabólico laminar, a velocidade máxima no centro é o dobro da velocidade média da seção (U_{\max}=2\bar{U}). Esta é uma relação clássica e útil na prova — memorize!
Passo 6
Expressar a vazão volumétrica Q em termos de D (usar R=D/2):
A taxa de fluxo de massa \dot{m} relaciona-se com a vazão volumétrica por
\dot{m}=\rho\,Q,
onde \rho é a densidade do fluido. Substituindo Q,
\dot{m}=\rho\,\dfrac{\pi D^{2}}{8}\,U_{\max}.
Alternativamente pode-se escrever \dot{m}=\rho A \bar{U}, que leva ao mesmo valor porque A=\dfrac{\pi D^{2}}{4} e \bar{U}=U_{\max}/2.
Passo 7
Resumo / verificação rápida: a conta é simples quando se lembra de usar coordenadas polares e que o elemento de área é 2\pi r\,\mathrm{d}r. Se precisar decorar, guarde: para perfil parabólico u(r)=U_{\max}(1-(r/R)^{2}) tem \bar{U}=U_{\max}/2 e Q=\pi R^{2} \bar{U} = \pi D^{2}U_{\max}/8. Força aí — você tá indo bem!