Questão 4 (30% da nota)

O nitrogênio a 30^{\circ} \mathrm{C} e à pressão atmosférica entra em um duto triangular com lados de 0,02 \mathrm{~m} a uma taxa de 4 \times 10^{-4} \mathrm{~kg} / \mathrm{s}. Supondo que a temperatura do duto seja uniforme a 200^{\circ} \mathrm{C}, calcule a temperatura aparente do nitrogênio a 2 m e 5 m da entrada.
Dados: \mathrm{c}_{\mathrm{p}}=1042 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} . \mathrm{K} ; \mathrm{k}=0,0278 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} ; \mu=18,79 \times 10^{-6} \mathrm{~N} . \mathrm{s} / \mathrm{m}^{2} ; \operatorname{Pr}=0,71.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado.
  • Pedido: calcular a “temperatura aparente” do nitrogênio a 2\\ \mathrm{m} e 5\\ \mathrm{m} da entrada do duto. Aqui interpretamos “temperatura aparente” como a temperatura média (temperatura de massa, ou temperatura bulk) do fluxo em um dado plano perpendicular ao escoamento, isto é a variável que evolui ao longo do eixo x do duto.
  • Dados numéricos fornecidos:
    • Temperatura de entrada: T_{i}=30^\circ\mathrm{C}=303{,}15\\ \mathrm{K}.
    • Temperatura da parede do duto (uniforme): T_{w}=200^\circ\mathrm{C}=473{,}15\\ \mathrm{K}.
    • Taxa mássica: \dot m=4\times10^{-4}\\ \mathrm{kg}/\mathrm{s}.
    • Geometria do duto: triângulo equilátero com lados a=0{,}02\\ \mathrm{m}.
    • Propriedades do nitrogênio (fornecidas):
      • c_{p}=1042\\ \mathrm{J}/\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K}.
      • k=0{,}0278\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}.
      • \mu=18{,}79\times10^{-6}\\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{s}/\mathrm{m}^2.
      • \mathrm{Pr}=0{,}71.
    • Pressão atmosférica (presumida): p=1{,}013\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
  • Estratégia geral (aqui apenas listada): calcular área e diâmetro hidráulico, velocidade média, número de Reynolds para saber o regime, estimar o coeficiente convectivo h (usando número de Nusselt apropriado para duto triangular com escoamento laminar e termicamente desenvolvido), e então resolver o balanço energético ao longo do eixo para obter a evolução exponencial da temperatura média T_b(x). A resolução completa vem a seguir.

Passo 2

Área da secção transversal e diâmetro hidráulico do triângulo equilátero.
  • Área de um triângulo equilátero de lado a:
A=\frac{\sqrt{3}}{4}\,a^{2}.
Substituindo a=0{,}02\\ \mathrm{m}:
A=\frac{\sqrt{3}}{4}\,(0{,}02)^{2}=0{,}000173205\\ \mathrm{m}^{2}\quad(\approx1{,}732\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^{2}).
  • Perímetro:
P_{\text{per}}=3a=3\times0{,}02=0{,}06\\ \mathrm{m}.
  • Diâmetro hidráulico definido por D_{h}=4A/P_{\text{per}}:
D_{h}=\frac{4A}{P_{\text{per}}}=\frac{4\times0{,}000173205}{0{,}06}=0{,}011547\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Densidade do nitrogênio na entrada (usar gás ideal).
  • Constante específica do nitrogênio R_{\mathrm{N_2}}\approx\frac{8{,}314\\ \mathrm{J}/\mathrm{mol}\cdot\mathrm{K}}{0{,}028013\\ \mathrm{kg}/\mathrm{mol}}\approx296{,}8\\ \mathrm{J}/\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K}.
  • Usando a equação dos gases ideais \rho=\dfrac{p}{R T} com p=1{,}013\times10^{5}\\ \mathrm{Pa} e T_{i}=303{,}15\\ \mathrm{K}:
\rho=\frac{1{,}013\times10^{5}}{296{,}8\times303{,}15}\approx1{,}126\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}.

Passo 4

Velocidade média do escoamento a partir da vazão mássica.
  • Relação \dot m=\rho A V V=\dfrac{\dot m}{\rho A}.
V=\frac{4\times10^{-4}}{1{,}126\times0{,}000173205}\approx2{,}05\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.

Passo 5

Número de Reynolds e comprimento de entrada térmico.
  • Definição \mathrm{Re}=\dfrac{\rho V D_{h}}{\mu}.
\mathrm{Re}=\frac{1{,}126\times2{,}05\times0{,}011547}{18{,}79\times10^{-6}}\approx1{,}42\times10^{3}.
Conclusão: o escoamento é laminar (porque \mathrm{Re}<2300).
  • Comprimento de entrada térmico aproximado (para fluxo laminar):
x_{\text{th}}\approx0{,}05\,\mathrm{Re}\,\mathrm{Pr}\,D_{h}.
Substituindo valores:
x_{\text{th}}\approx0{,}05\times1{,}42\times10^{3}\times0{,}71\times0{,}011547\approx0{,}58\\ \mathrm{m}.
Como as posições 2\\ \mathrm{m} e 5\\ \mathrm{m} são muito maiores que x_{\text{th}}, o escoamento está termicamente desenvolvido nessas seções. Logo podemos usar o número de Nusselt característico do regime termicamente desenvolvido laminar.

Passo 6

Escolha do número de Nusselt e cálculo do coeficiente convectivo h.
  • Para escoamento laminar, termicamente desenvolvido, em ductos de seção não circular, existe um número de Nusselt constante que depende apenas da forma da seção e da condição térmica de contorno (parede a temperatura uniforme ou fluxo de calor uniforme). Para um triângulo equilátero com parede a temperatura constante, tabelas padrão de convecção interna dão um valor aproximadamente constante de \mathrm{Nu}\approx3{,}0 (valor típico disponível em tabelas de transferência de calor para polígonos regulares).
  • Observação didática rápida: o número de Nusselt é definido por \mathrm{Nu}=\dfrac{h D_{h}}{k}. Ele relaciona o transporte convectivo (h) com a condutividade térmica do fluido (k). Quando o escoamento está termicamente desenvolvido, \mathrm{Nu} é constante (não depende de x).
  • Com \mathrm{Nu}=3{,}0 e k=0{,}0278\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}:
h=\frac{\mathrm{Nu}\,k}{D_{h}}=\frac{3{,}0\times0{,}0278}{0{,}011547}\approx7{,}22\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}.

Passo 7

Balanço energético e solução para a temperatura média T_b(x).
  • Física e fórmula: supondo escoamento unidimensional, regime estacionário, propriedades constantes e sem geração interna, o balanço de energia para um elemento de comprimento dx do duto relaciona a variação de energia do fluido com o fluxo de calor pela parede:
\dot m\,c_p\,\frac{dT_b}{dx}=hP_{\text{per}}\bigl(T_w-T_b(x)\bigr),
onde
  • \dot m é a vazão mássica ( \mathrm{kg/s}),
  • c_p é o calor específico a pressão constante ( \mathrm{J}/\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K}),
  • T_b(x) é a temperatura média do fluido no plano x,
  • h é o coeficiente convectivo ( \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}),
  • P_{\text{per}} é o perímetro molhado ( \mathrm{m}),
  • T_w é a temperatura da parede (constante).
  • Esta é uma EDO linear de primeira ordem cuja solução com condição inicial T_b(0)=T_i é:
T_b(x)=T_w-\bigl(T_w-T_i\bigr)\exp\!\left(-\frac{hP_{\text{per}}}{\dot m c_p}\,x\right).
  • Definindo a constante exponencial
m=\frac{hP_{\text{per}}}{\dot m c_p},
vamos calcular m numericamente:
m=\frac{7{,}22\times0{,}06}{4\times10^{-4}\times1042}=\frac{0{,}4332}{0{,}4168}\approx1{,}0396\\ \mathrm{m}^{-1}.

Passo 8

Cálculo numérico das temperaturas em x=2\\ \mathrm{m} e x=5\\ \mathrm{m}.
  • Primeiro, a diferença entre parede e entrada:
T_w-T_i=473{,}15-303{,}15=170\\ \mathrm{K}.
  • Para x=2\\ \mathrm{m}:
T_b(2)=473{,}15-170\exp\!\bigl(-1{,}0396\times2\bigr).
Calcule o expoente: -1{,}0396\times2=-2{,}0792, \exp(-2{,}0792)\approx0{,}1250.
T_b(2)=473{,}15-170\times0{,}1250=473{,}15-21{,}25=451{,}90\\ \mathrm{K}.
Convertendo para Celsius: T_b(2)=451{,}90-273{,}15=178{,}75^\circ\mathrm{C}\approx178{,}8^\circ\mathrm{C}.
  • Para x=5\\ \mathrm{m}:
T_b(5)=473{,}15-170\exp\!\bigl(-1{,}0396\times5\bigr).
Calcule o expoente: -1{,}0396\times5=-5{,}198, \exp(-5{,}198)\approx0{,}00552.
T_b(5)=473{,}15-170\times0{,}00552=473{,}15-0{,}94\approx472{,}21\\ \mathrm{K}.
Convertendo para Celsius: T_b(5)=472{,}21-273{,}15=199{,}06^\circ\mathrm{C}\approx199{,}1^\circ\mathrm{C}.

Passo 9

Comentários finais e verificação rápida de sentido físico.
  • Interpretação: a temperatura média do gás sobe exponencialmente em direção à temperatura da parede T_w. Em 2\\ \mathrm{m} já alcançamos grande parte do aquecimento (cerca de 179^\circ\mathrm{C}), e em 5\\ \mathrm{m} o fluido praticamente se iguala à parede ( \approx199{,}1^\circ\mathrm{C}).
  • Observações sobre aproximações: a principal hipótese foi usar o valor tabulado \mathrm{Nu}\approx3{,}0 para triângulo equilátero com parede a temperatura constante (válido para escoamento laminar termicamente desenvolvido). Se outro valor de \mathrm{Nu} for adotado a resposta numérica muda, mas o procedimento e a dependência exponencial são os mesmos.

Resposta

T_b(2\\ \mathrm{m}) = 178{,}8^\circ\mathrm{C}
T_b(5\\ \mathrm{m}) = 199{,}1^\circ\mathrm{C}

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