Questão 4 (30% da nota)
O nitrogênio a
e à pressão atmosférica entra em um duto triangular com lados de
a uma taxa de
. Supondo que a temperatura do duto seja uniforme a
, calcule a temperatura aparente do nitrogênio a 2 m e 5 m da entrada.
Dados:
.
Dados:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado.
- Pedido: calcular a “temperatura aparente” do nitrogênio a
e da entrada do duto. Aqui interpretamos “temperatura aparente” como a temperatura média (temperatura de massa, ou temperatura bulk) do fluxo em um dado plano perpendicular ao escoamento, isto é a variável que evolui ao longo do eixo do duto. - Dados numéricos fornecidos:
- Temperatura de entrada:
. - Temperatura da parede do duto (uniforme):
. - Taxa mássica:
. - Geometria do duto: triângulo equilátero com lados
. - Propriedades do nitrogênio (fornecidas):
-
. -
. -
. -
.
-
- Pressão atmosférica (presumida):
.
- Temperatura de entrada:
- Estratégia geral (aqui apenas listada): calcular área e diâmetro hidráulico, velocidade média, número de Reynolds para saber o regime, estimar o coeficiente convectivo
(usando número de Nusselt apropriado para duto triangular com escoamento laminar e termicamente desenvolvido), e então resolver o balanço energético ao longo do eixo para obter a evolução exponencial da temperatura média . A resolução completa vem a seguir.
Passo 2
Área da secção transversal e diâmetro hidráulico do triângulo equilátero.
- Área de um triângulo equilátero de lado
:
Substituindo
:
- Perímetro:
- Diâmetro hidráulico definido por
:
Passo 3
Densidade do nitrogênio na entrada (usar gás ideal).
- Constante específica do nitrogênio
. - Usando a equação dos gases ideais
com e :
Passo 4
Velocidade média do escoamento a partir da vazão mássica.
- Relação
⇒ .
Passo 5
Número de Reynolds e comprimento de entrada térmico.
- Definição
.
Conclusão: o escoamento é laminar (porque
).
- Comprimento de entrada térmico aproximado (para fluxo laminar):
Substituindo valores:
Como as posições
e
são muito maiores que
, o escoamento está termicamente desenvolvido nessas seções. Logo podemos usar o número de Nusselt característico do regime termicamente desenvolvido laminar.
Passo 6
Escolha do número de Nusselt e cálculo do coeficiente convectivo
.
- Para escoamento laminar, termicamente desenvolvido, em ductos de seção não circular, existe um número de Nusselt constante que depende apenas da forma da seção e da condição térmica de contorno (parede a temperatura uniforme ou fluxo de calor uniforme). Para um triângulo equilátero com parede a temperatura constante, tabelas padrão de convecção interna dão um valor aproximadamente constante de
(valor típico disponível em tabelas de transferência de calor para polígonos regulares). - Observação didática rápida: o número de Nusselt é definido por
. Ele relaciona o transporte convectivo com a condutividade térmica do fluido . Quando o escoamento está termicamente desenvolvido, é constante (não depende de ). - Com
e :
Passo 7
Balanço energético e solução para a temperatura média
.
- Física e fórmula: supondo escoamento unidimensional, regime estacionário, propriedades constantes e sem geração interna, o balanço de energia para um elemento de comprimento
do duto relaciona a variação de energia do fluido com o fluxo de calor pela parede:
onde
-
é a vazão mássica ( ), -
é o calor específico a pressão constante ( ), -
é a temperatura média do fluido no plano , -
é o coeficiente convectivo ( ), -
é o perímetro molhado ( ), -
é a temperatura da parede (constante). - Esta é uma EDO linear de primeira ordem cuja solução com condição inicial
é:
- Definindo a constante exponencial
vamos calcular
numericamente:
Passo 8
Cálculo numérico das temperaturas em
e
.
- Primeiro, a diferença entre parede e entrada:
- Para
:
Calcule o expoente:
,
.
Convertendo para Celsius:
- Para
:
Calcule o expoente:
,
.
Convertendo para Celsius:
Passo 9
Comentários finais e verificação rápida de sentido físico.
- Interpretação: a temperatura média do gás sobe exponencialmente em direção à temperatura da parede
. Em já alcançamos grande parte do aquecimento (cerca de ), e em o fluido praticamente se iguala à parede ( ). - Observações sobre aproximações: a principal hipótese foi usar o valor tabulado
para triângulo equilátero com parede a temperatura constante (válido para escoamento laminar termicamente desenvolvido). Se outro valor de for adotado a resposta numérica muda, mas o procedimento e a dependência exponencial são os mesmos.