Questão 1 (15% da nota)
Com respeito à convecção forçada interna, diferencie comprimento de entrada hidrodinâmico e comprimento de entrada térmico. Em qual situação eles podem ser iguais? Em qual situação eles são diferentes? Explique.
Com respeito à convecção forçada interna, diferencie comprimento de entrada hidrodinâmico e comprimento de entrada térmico. Em qual situação eles podem ser iguais? Em qual situação eles são diferentes? Explique.
Passo 1
O enunciado pede três coisas claras:
- Diferenciar comprimento de entrada hidrodinâmico e comprimento de entrada térmico.
- Dizer em que situação esses comprimentos podem ser iguais.
- Dizer em que situação eles são diferentes.
Informações implícitas que vou usar (não resolver nada aqui, só listar):
- Estamos tratando de convecção forçada interna (fluido escoando numa tubulação/conduto).
- Variáveis que aparecerão:
(distância desde a entrada), (diâmetro do tubo), (velocidade média), (viscosidade cinemática), (difusividade térmica), (número de Reynolds), (número de Prandtl).
Passo 2
Imagem física e definição conceitual (com calma, passo a passo).
- Quando um fluido entra em um tubo com perfil de velocidade uniforme na entrada, uma camada próxima à parede começa a se desenvolver onde os efeitos viscosos retardam o fluido: é a camada limite de velocidade (ou camada hidrodinâmica). A espessura dessa camada cresce com
até ocupar toda a seção; quando o perfil de velocidade deixa de variar com dizemos que o escoamento está hidrodinamicamente totalmente desenvolvido. - Analogamente, se existe diferença de temperatura entre a parede e o fluido, começa a se desenvolver uma camada térmica (camada limite térmica) em que a temperatura muda entre a parede e o núcleo. Quando o perfil de temperatura deixa de variar com
dizemos que o escoamento está termicamente totalmente desenvolvido. - Portanto:
- Comprimento de entrada hidrodinâmico: distância desde a entrada até a seção onde o perfil de velocidade já não muda com
. - Comprimento de entrada térmico: distância desde a entrada até a seção onde o perfil de temperatura já não muda com
.
- Comprimento de entrada hidrodinâmico: distância desde a entrada até a seção onde o perfil de velocidade já não muda com
Passo 3
Quantificação por escala física (razão por que aparecem
e
).
- A difusão do momento (velocidade) é governada pela difusividade cinemática
. A difusão térmica é governada por . - Tempo convectivo característico para percorrer distância
é . Em tempo a difusão aumenta uma espessura da ordem . - Para velocidade:
. - Para temperatura:
.
- Para velocidade:
- Para que a camada ocupe a ordem do raio/diâmetro
(condição de desenvolv. completo), colocamos . Então, resolvendo para , - escala para
hidrodinâmico: . - escala para
térmico: , porque .
- escala para
- Resultado de escala: a razão entre os comprimentos escalares é
Onde é o comprimento de entrada hidrodinâmico e é o comprimento de entrada térmico.
Passo 4
Fórmulas empíricas úteis (o que costuma cair em prova e como usar).
- Para escoamento laminar em tubo circular, regras práticas usadas em engenharia (aproximações empíricas):
Expliquei antes o porquê do fator e o fator aparece ao trocar por . - Observação sobre variáveis nas fórmulas:
-
. -
(medida da razão entre difusão de momento e difusão térmica).
-
- Consequência imediata:
Assim, em escoamento laminar: - Se
então . - Se
então (camada térmica cresce mais lentamente → comprimento térmico maior). - Se
então (difusão térmica é rápida → completa antes da hidrodinâmica).
- Se
- Exemplo numérico para fixar (faça na prova!):
- Tome
e . - Então
. - Para ar (
): (térmico menor). - Para água (
): (térmico muito maior). - Isso ilustra bem: com
os comprimentos diferem bastante.
- Tome
Passo 5
O que acontece no regime turbulento (visão prática e de prova).
- No regime turbulento a mistura intensa pela turbulência transfere momento e calor muito mais rápido que a difusão molecular. Por consequência:
- O comprimento de entrada hidrodinâmico costuma ser pequeno, da ordem de algumas dezenas de diâmetros; uma regra prática comum é
(ordem de grandeza; às vezes usa-se em certos textos, mas em provas a estimativa é aceita). - O comprimento térmico em escoamento turbulento fica frequentemente da mesma ordem de magnitude do hidrodinâmico, especialmente para
na faixa moderada ( a ou assim). Em engenharia é comum assumir para essas condições.
- O comprimento de entrada hidrodinâmico costuma ser pequeno, da ordem de algumas dezenas de diâmetros; uma regra prática comum é
- Exceções: para
extremo (muito pequeno, p.ex. fluidos metálicos líquidos com , ou muito grande, p.ex. óleos com ), a difusão molecular ainda pode influenciar e aí pode diferir de . Mas para muitos problemas práticos (ar, água, óleos moderados) pode-se tratar como semelhantes.
Passo 6
Recomendações práticas para prova — como justificar e como calcular rápido.
- Se for laminar: use as fórmulas
e . Mostre a relação com e conclua igualdade quando . - Se for turbulento: diga que ambos são da mesma ordem (usar
como estimativa) e comente que igualdade é uma boa aproximação para moderado; comente as exceções para extremo. - Sempre explique em poucas linhas o argumento de escala (difusão vs convecção) se te pedirem justificativa conceitual — é a forma mais segura de ganhar pontos parciais.
Passo 7
Resumo final (antes da resposta curta): o ponto central é que o comprimento térmico inclui o efeito do número de Prandtl; para laminar há uma relação direta
, portanto quando
são iguais; em turbulento são geralmente semelhantes por mistura turbulenta, salvo casos extremos de
.
Resposta
Comprimento de entrada hidrodinâmico: distância até o perfil de velocidade ficar invariável com
(escalado por
; em laminar
).
Comprimento de entrada térmico: distância até o perfil de temperatura ficar invariável com (escalado por
; em laminar
).
Podem ser iguais quando (no regime laminar) e, na prática, também são aproximadamente iguais no regime turbulento para
moderado (assinatura de engenharia: ambos
).
São diferentes quando no regime laminar (então
, logo
,
) e podem diferir para valores de
muito extremos mesmo em regime turbulento.
Comprimento de entrada térmico: distância até o perfil de temperatura ficar invariável com
Podem ser iguais quando
São diferentes quando