Questão 1 (15% da nota)
Com respeito à convecção forçada interna, diferencie comprimento de entrada hidrodinâmico e comprimento de entrada térmico. Em qual situação eles podem ser iguais? Em qual situação eles são diferentes? Explique.

Passo 1

O enunciado pede três coisas claras:
  • Diferenciar comprimento de entrada hidrodinâmico e comprimento de entrada térmico.
  • Dizer em que situação esses comprimentos podem ser iguais.
  • Dizer em que situação eles são diferentes.
Informações implícitas que vou usar (não resolver nada aqui, só listar):
  • Estamos tratando de convecção forçada interna (fluido escoando numa tubulação/conduto).
  • Variáveis que aparecerão: x (distância desde a entrada), D (diâmetro do tubo), U (velocidade média), \nu (viscosidade cinemática), \alpha (difusividade térmica), Re (número de Reynolds), Pr (número de Prandtl).

Passo 2

Imagem física e definição conceitual (com calma, passo a passo).
  • Quando um fluido entra em um tubo com perfil de velocidade uniforme na entrada, uma camada próxima à parede começa a se desenvolver onde os efeitos viscosos retardam o fluido: é a camada limite de velocidade (ou camada hidrodinâmica). A espessura dessa camada cresce com x até ocupar toda a seção; quando o perfil de velocidade deixa de variar com x dizemos que o escoamento está hidrodinamicamente totalmente desenvolvido.
  • Analogamente, se existe diferença de temperatura entre a parede e o fluido, começa a se desenvolver uma camada térmica (camada limite térmica) em que a temperatura muda entre a parede e o núcleo. Quando o perfil de temperatura deixa de variar com x dizemos que o escoamento está termicamente totalmente desenvolvido.
  • Portanto:
    • Comprimento de entrada hidrodinâmico: distância desde a entrada até a seção onde o perfil de velocidade já não muda com x.
    • Comprimento de entrada térmico: distância desde a entrada até a seção onde o perfil de temperatura já não muda com x.

Passo 3

Quantificação por escala física (razão por que aparecem Re e Pr).
  • A difusão do momento (velocidade) é governada pela difusividade cinemática \nu. A difusão térmica é governada por \alpha.
  • Tempo convectivo característico para percorrer distância x é t\sim x/U. Em tempo t a difusão aumenta uma espessura da ordem \delta^2\sim \text{(difusividade)}\times t.
    • Para velocidade: \delta_v^2\sim \nu\,\frac{x}{U}.
    • Para temperatura: \delta_t^2\sim \alpha\,\frac{x}{U}.
  • Para que a camada ocupe a ordem do raio/diâmetro D (condição de desenvolv. completo), colocamos \delta\sim D. Então, resolvendo para x,
    • escala para x hidrodinâmico: x\sim \dfrac{U D^2}{\nu} = Re\;D.
    • escala para x térmico: x\sim \dfrac{U D^2}{\alpha} = Re\;Pr\;D, porque Pr=\dfrac{\nu}{\alpha}.
  • Resultado de escala: a razão entre os comprimentos escalares é \frac{L_{t,e}}{L_{h,e}}\sim Pr.Onde L_{h,e} é o comprimento de entrada hidrodinâmico e L_{t,e} é o comprimento de entrada térmico.

Passo 4

Fórmulas empíricas úteis (o que costuma cair em prova e como usar).
  • Para escoamento laminar em tubo circular, regras práticas usadas em engenharia (aproximações empíricas): L_{h,e}\approx 0{,}05\,Re\,D \qquad\text{e}\qquad L_{t,e}\approx 0{,}05\,Re\,Pr\,D.Expliquei antes o porquê do fator Re\,D e o fator Pr aparece ao trocar \nu por \alpha.
  • Observação sobre variáveis nas fórmulas:
    • Re=\dfrac{\rho U D}{\mu}=\dfrac{U D}{\nu}.
    • Pr=\dfrac{\nu}{\alpha} (medida da razão entre difusão de momento e difusão térmica).
  • Consequência imediata: \frac{L_{t,e}}{L_{h,e}}\approx Pr.Assim, em escoamento laminar:
    • Se Pr=1 então L_{t,e}\approx L_{h,e}.
    • Se Pr>1 então L_{t,e}>L_{h,e} (camada térmica cresce mais lentamente → comprimento térmico maior).
    • Se Pr<1 então L_{t,e}<L_{h,e} (difusão térmica é rápida → completa antes da hidrodinâmica).
  • Exemplo numérico para fixar (faça na prova!):
    • Tome Re=1000 e D=0{,}01\\ \text{m}.
    • Então L_{h,e}\approx 0{,}05\cdot1000\cdot0{,}01 = 0{,}5\\ \text{m}.
    • Para ar ( Pr\approx0{,}7): L_{t,e}\approx0{,}5\cdot0{,}7=0{,}35\\ \text{m} (térmico menor).
    • Para água ( Pr\approx7): L_{t,e}\approx0{,}5\cdot7=3{,}5\\ \text{m} (térmico muito maior).
    • Isso ilustra bem: com Pr\neq1 os comprimentos diferem bastante.

Passo 5

O que acontece no regime turbulento (visão prática e de prova).
  • No regime turbulento a mistura intensa pela turbulência transfere momento e calor muito mais rápido que a difusão molecular. Por consequência:
    • O comprimento de entrada hidrodinâmico costuma ser pequeno, da ordem de algumas dezenas de diâmetros; uma regra prática comum é L_{h,e}\sim 10\,D(ordem de grandeza; às vezes usa-se L_{h,e}\approx 4{,}4 D Re^{1/6} em certos textos, mas em provas a estimativa 10D é aceita).
    • O comprimento térmico em escoamento turbulento fica frequentemente da mesma ordem de magnitude do hidrodinâmico, especialmente para Pr na faixa moderada ( 0{,}7 a 10 ou assim). Em engenharia é comum assumir L_{t,e}\approx L_{h,e} para essas condições.
  • Exceções: para Pr extremo (muito pequeno, p.ex. fluidos metálicos líquidos com Pr\ll1, ou muito grande, p.ex. óleos com Pr\gg1), a difusão molecular ainda pode influenciar e aí L_{t,e} pode diferir de L_{h,e}. Mas para muitos problemas práticos (ar, água, óleos moderados) pode-se tratar como semelhantes.

Passo 6

Recomendações práticas para prova — como justificar e como calcular rápido.
  • Se for laminar: use as fórmulas L_{h,e}\approx0{,}05ReD e L_{t,e}\approx0{,}05RePrD. Mostre a relação com Pr e conclua igualdade quando Pr=1.
  • Se for turbulento: diga que ambos são da mesma ordem (usar 10D como estimativa) e comente que igualdade é uma boa aproximação para Pr moderado; comente as exceções para Pr extremo.
  • Sempre explique em poucas linhas o argumento de escala (difusão vs convecção) se te pedirem justificativa conceitual — é a forma mais segura de ganhar pontos parciais.

Passo 7

Resumo final (antes da resposta curta): o ponto central é que o comprimento térmico inclui o efeito do número de Prandtl; para laminar há uma relação direta L_{t,e}/L_{h,e}\approx Pr, portanto quando Pr=1 são iguais; em turbulento são geralmente semelhantes por mistura turbulenta, salvo casos extremos de Pr.

Resposta

Comprimento de entrada hidrodinâmico: distância até o perfil de velocidade ficar invariável com x (escalado por L_{h,e}\sim Re\,D; em laminar L_{h,e}\approx0{,}05\,Re\,D).
Comprimento de entrada térmico: distância até o perfil de temperatura ficar invariável com x (escalado por L_{t,e}\sim Re\,Pr\,D; em laminar L_{t,e}\approx0{,}05\,Re\,Pr\,D).
Podem ser iguais quando Pr=1 (no regime laminar) e, na prática, também são aproximadamente iguais no regime turbulento para Pr moderado (assinatura de engenharia: ambos \sim10D).
São diferentes quando Pr\neq1 no regime laminar (então L_{t,e}/L_{h,e}\approx Pr, logo Pr>1\Rightarrow L_{t,e}>L_{h,e}, Pr<1\Rightarrow L_{t,e}<L_{h,e}) e podem diferir para valores de Pr muito extremos mesmo em regime turbulento.

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