A meia vida para o decaimento radioativo (num processo de primeira ordem) do
é 5730 anos (ele emite raios beta com uma energia de
). Uma amostra arqueológica contém madeira onde está presente somente
do
encontrado nas árvores vivas. Qual é a idade da amostra?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa:
- Meia-vida do
: . - A amostra arqueológica tem somente
do presente em árvores vivas (ou seja, a razão ). - O enunciado também menciona que o
emite elétrons beta com energia (informação que não será necessária para calcular a idade). - Pergunta: qual é a idade da amostra (em anos)?
Passo 2
Modelo físico e equação básica (explicação didática).
- No decaimento radioativo de primeira ordem a quantidade de núcleos ativos
decai exponencialmente segundo a equação
onde:
-
é a quantidade inicial de núcleos (no tempo , aqui: valor em árvores vivas), -
é a quantidade restante após tempo , -
é a constante de decaimento (unidade: ), -
é a base dos logaritmos naturais. - A meia-vida
é o tempo necessário para a quantidade cair a metade: . Substituindo na expressão exponencial:
Cancelando
e tomando logaritmo natural obtém-se a relação
logo
Essa fórmula dá
a partir da meia-vida. Agora é só aplicar com os números dados.
Passo 3
Calcular numericamente
.
- Usando
:
- Valor numérico (usar logaritmo natural
):
(Arredondei
com 5 algarismos significativos; a unidade é
.)
Passo 4
Relacionar a fração restante com o tempo e isolar
.
- Sabemos que
. A partir de temos
- Tomando logaritmo natural em ambos os lados:
- Isolando
:
Passo 5
Cálculo numérico final do tempo
.
- Primeiro calcule
:
- Então
- Fazendo a divisão:
- Arredondando de forma apropriada e apresentando em notação conveniente:
Passo 6
Interpretação curta e incentivo.
- Conclusão prática: a amostra tem cerca de
anos, ou seja aproximadamente anos. - Dica para a prova: memorize a fórmula
e a equação ; para problemas com porcentagem restante sempre resolva . Você já consegue fazer isso bem rápido — vai dar certo!