A meia vida para o decaimento radioativo (num processo de primeira ordem) do { }^{14} \mathrm{C} é 5730 anos (ele emite raios beta com uma energia de 0,16 \mathrm{MeV} ). Uma amostra arqueológica contém madeira onde está presente somente 69 \% do { }^{14} \mathrm{C} encontrado nas árvores vivas. Qual é a idade da amostra?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa:
  • Meia-vida do { }^{14}\mathrm{C}: \,t_{1/2}=5730\\ \text{anos}.
  • A amostra arqueológica tem somente 69\% do { }^{14}\mathrm{C} presente em árvores vivas (ou seja, a razão \dfrac{N(t)}{N_0}=0{,}69).
  • O enunciado também menciona que o { }^{14}\mathrm{C} emite elétrons beta com energia 0{,}16\\ \mathrm{MeV} (informação que não será necessária para calcular a idade).
  • Pergunta: qual é a idade da amostra (em anos)?

Passo 2

Modelo físico e equação básica (explicação didática).
  • No decaimento radioativo de primeira ordem a quantidade de núcleos ativos \,N(t)\, decai exponencialmente segundo a equação
N(t)=N_0\,e^{-\lambda t},
onde:
  • \,N_0\, é a quantidade inicial de núcleos (no tempo t=0, aqui: valor em árvores vivas),
  • \,N(t)\, é a quantidade restante após tempo t,
  • \,\lambda\, é a constante de decaimento (unidade: \text{ano}^{-1}),
  • e é a base dos logaritmos naturais.
  • A meia-vida \,t_{1/2}\, é o tempo necessário para a quantidade cair a metade: N(t_{1/2})=N_0/2. Substituindo na expressão exponencial:
\frac{N_0}{2}=N_0 e^{-\lambda t_{1/2}}
Cancelando N_0 e tomando logaritmo natural obtém-se a relação
e^{-\lambda t_{1/2}}=\frac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad -\lambda t_{1/2}=\ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=-\ln 2,
logo
\lambda=\frac{\ln 2}{t_{1/2}}.
Essa fórmula dá \lambda a partir da meia-vida. Agora é só aplicar com os números dados.

Passo 3

Calcular numericamente \lambda.
  • Usando \,t_{1/2}=5730\\ \text{anos}:
\lambda=\frac{\ln 2}{5730}.
  • Valor numérico (usar logaritmo natural \ln 2\approx0{,}693147\ldots):
\lambda\approx\frac{0{,}693147}{5730}\approx1{,}2098\times10^{-4}\\ \text{ano}^{-1}.
(Arredondei \lambda com 5 algarismos significativos; a unidade é \text{ano}^{-1}.)

Passo 4

Relacionar a fração restante com o tempo e isolar t.
  • Sabemos que \dfrac{N(t)}{N_0}=0{,}69. A partir de N(t)=N_0 e^{-\lambda t} temos
\frac{N(t)}{N_0}=e^{-\lambda t}=0{,}69.
  • Tomando logaritmo natural em ambos os lados:
-\lambda t=\ln(0{,}69).
  • Isolando t:
t=-\frac{\ln(0{,}69)}{\lambda}.

Passo 5

Cálculo numérico final do tempo t.
  • Primeiro calcule \ln(0{,}69):
\ln(0{,}69)\approx-0{,}3711007.
  • Então
t=-\frac{-0{,}3711007}{1{,}2098\times10^{-4}}=\frac{0{,}3711007}{1{,}2098\times10^{-4}}.
  • Fazendo a divisão:
t\approx3068{,}9\\ \text{anos}.
  • Arredondando de forma apropriada e apresentando em notação conveniente:
t\approx3{,}07\times10^{3}\\ \text{anos}\approx3069\\ \text{anos}.

Passo 6

Interpretação curta e incentivo.
  • Conclusão prática: a amostra tem cerca de 3{,}07\times10^{3} anos, ou seja aproximadamente 3070 anos.
  • Dica para a prova: memorize a fórmula \lambda=\dfrac{\ln 2}{t_{1/2}} e a equação N(t)=N_0 e^{-\lambda t}; para problemas com porcentagem restante sempre resolva t=-\dfrac{\ln(\text{fração})}{\lambda}çã. Você já consegue fazer isso bem rápido — vai dar certo!

Resposta

\text{Idade}\approx3{,}07\times10^{3}\\ \text{anos}

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