Para um meio anisotrópico
\left[\begin{array}{l} D_{x} \\\ D_{y} \\\ D_{z} \end{array}\right]=\varepsilon_{0}\left[\begin{array}{lll} 4 & 1 & 1 \\\\ 1 & 4 & 1 \\\\ 1 & 1 & 4 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} E_{x} \\\ E_{y} \\\ E_{z} \end{array}\right]
Obtenha \boldsymbol{D} para:
(a) \boldsymbol{E}=10 \boldsymbol{a}_{x}+10 \boldsymbol{a}_{y} \mathrm{~V} / \mathrm{m}

Passo 1

O enunciado dá a relação matricial para um meio anisotrópico
\begin{pmatrix} D_x\\\ D_y\\\ D_z \end{pmatrix} =\varepsilon_0 \begin{pmatrix} 4 & 1 & 1\\\\ 1 & 4 & 1\\\\ 1 & 1 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} E_x\\\ E_y\\\ E_z \end{pmatrix}
e pede \boldsymbol{D} quando \boldsymbol{E}=10\,\boldsymbol{a}_x+10\,\boldsymbol{a}_y V/m. Vamos usar multiplicação de matriz por vetor.

Passo 2

Em componentes,
E_x=10,\quad E_y=10,\quad E_z=0.

Passo 3

Calculamos D_x e D_y usando as linhas correspondentes da matriz:
D_x=\varepsilon_0\,(4E_x+1E_y+1E_z) =\varepsilon_0\,(4\cdot10+1\cdot10+1\cdot0) =50\,\varepsilon_0,
D_y=\varepsilon_0\,(1E_x+4E_y+1E_z) =\varepsilon_0\,(1\cdot10+4\cdot10+1\cdot0) =50\,\varepsilon_0.

Passo 4

Calculamos D_z e montamos o vetor \boldsymbol{D}:
D_z=\varepsilon_0\,(1E_x+1E_y+4E_z) =\varepsilon_0\,(1\cdot10+1\cdot10+4\cdot0) =20\,\varepsilon_0.
Portanto,
\boldsymbol{D} =50\,\varepsilon_0\,\boldsymbol{a}_x +50\,\varepsilon_0\,\boldsymbol{a}_y +20\,\varepsilon_0\,\boldsymbol{a}_z.

Resposta

\boldsymbol{D}=50\,\varepsilon_0\,\boldsymbol{a}_x+50\,\varepsilon_0\,\boldsymbol{a}_y+20\,\varepsilon_0\,\boldsymbol{a}_z.

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