S e \boldsymbol{J}=\frac{100}{\rho^{2}} \boldsymbol{a}_{\rho} A / m^{2}, determine:
(a) a taxa de aumento da densidade volumétrica de carga;
(b) a corrente total que passa através de uma superfície definida por \rho=2,0<z<1, 0<\varphi<2 \pi.

Passo 1

O enunciado dá o campo de densidade de corrente em coordenadas cilíndricas
\mathbf{J} = \frac{100}{\rho^{2}}\,\mathbf{a}_{\rho}\quad\bigl[\mathrm{A/m^{2}}\bigr]
e pede:
– (a) a taxa de variação temporal da densidade volumétrica de carga \rho_{v};
– (b) a corrente total que atravessa a superfície definida por \rho=2, 0<z<1, 0<\varphi<2\pi.
O conteúdo envolve a equação de continuidade
\frac{\partial \rho_{v}}{\partial t} + \nabla\!\cdot\mathbf{J} = 0
e o cálculo de divergente em coordenadas cilíndricas, além de fluxo de \mathbf{J} por uma superfície cilíndrica.

Passo 2

Usamos a equação de continuidade para obter
\frac{\partial \rho_{v}}{\partial t} = -\,\nabla\!\cdot\mathbf{J}.
Em coordenadas cilíndricas, com \mathbf{J} = J_{\rho}\,\mathbf{a}_{\rho} e J_{\varphi}=J_{z}=0, vale
\nabla\!\cdot\mathbf{J} = \frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho\,J_{\rho})}{\partial \rho} = \frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}\!\Bigl(\rho\,\frac{100}{\rho^{2}}\Bigr) = \frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}\!\Bigl(\frac{100}{\rho}\Bigr) = \frac{1}{\rho}\Bigl(-\frac{100}{\rho^{2}}\Bigr) = -\frac{100}{\rho^{3}}.
Logo
\frac{\partial \rho_{v}}{\partial t} = -\bigl(-\frac{100}{\rho^{3}}\bigr) = \frac{100}{\rho^{3}} \quad\bigl[\mathrm{A/m^{3}}\bigr].

Passo 3

Para a corrente total atravessando a superfície cilíndrica \rho=2, 0<z<1, 0<\varphi<2\pi, calculamos o fluxo
I = \iint_{S}\mathbf{J}\cdot d\mathbf{S}.
Nesse caso d\mathbf{S} = \mathbf{a}_{\rho}\,\rho\,d\varphi\,dz = \mathbf{a}_{\rho}\,(2\,d\varphi\,dz) e em \rho=2 temos J_{\rho} = 100/2^{2} = 25. Assim
I = \int_{z=0}^{1}\!\int_{\varphi=0}^{2\pi} 25\,(2)\,d\varphi\,dz = 50 \int_{0}^{2\pi}\!d\varphi \int_{0}^{1}\!dz = 50\,(2\pi)\,(1) = 100\pi \quad[\mathrm{A}].

Resposta

(a) \displaystyle \frac{\partial \rho_{v}}{\partial t} = \frac{100}{\rho^{3}}.
(b) \displaystyle I = 100\pi\\ \mathrm{A}.

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