Para um meio anisotrópico
\left[\begin{array}{l} D_{x} \\\ D_{y} \\\ D_{z} \end{array}\right]=\varepsilon_{0}\left[\begin{array}{lll} 4 & 1 & 1 \\\\ 1 & 4 & 1 \\\\ 1 & 1 & 4 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} E_{x} \\\ E_{y} \\\ E_{z} \end{array}\right]
Obtenha \boldsymbol{D} para:
(b) \boldsymbol{E}=10 \boldsymbol{a}_{x}+20 \boldsymbol{a}_{y}-30 \boldsymbol{a}_{z} \mathrm{~V} / \mathrm{m}

Passo 1

O enunciado dá a relação em um meio anisotrópico
\begin{pmatrix}D_x\D_y\D_z\end{pmatrix} =\varepsilon_{0} \begin{pmatrix}4&1&1\\\ 1&4&1\\\ 1&1&4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}E_x\E_y\E_z\end{pmatrix}
e pede \boldsymbol{D} para \boldsymbol{E}=10\,\boldsymbol{a}_x+20\,\boldsymbol{a}_y-30\,\boldsymbol{a}_z.
O conteúdo aqui é multiplicação de matriz por vetor e escalação pelo fator \varepsilon_0.

Passo 2

Escrevemos as componentes de \boldsymbol{D} em função de \boldsymbol{E}:
D_x=\varepsilon_{0}\bigl(4E_x+E_y+E_z\bigr),\quad D_y=\varepsilon_{0}\bigl(E_x+4E_y+E_z\bigr),\quad D_z=\varepsilon_{0}\bigl(E_x+E_y+4E_z\bigr).

Passo 3

Substituindo E_x=10, E_y=20, E_z=-30:
D_x=\varepsilon_{0}(4\cdot10+20-30)=\varepsilon_{0}\cdot30,
D_y=\varepsilon_{0}(10+4\cdot20-30)=\varepsilon_{0}\cdot60,
D_z=\varepsilon_{0}(10+20+4\cdot(-30))=\varepsilon_{0}\cdot(-90).

Passo 4

Reunindo as três componentes, obtemos
\boldsymbol{D} =\varepsilon_{0}\bigl(30\,\boldsymbol{a}_{x}+60\,\boldsymbol{a}_{y}-90\,\boldsymbol{a}_{z}\bigr) \quad\bigl[\mathrm{C/m^{2}}\bigr].

Resposta

\displaystyle \boldsymbol{D} =\varepsilon_{0}\bigl(30\,\boldsymbol{a}_{x}+60\,\boldsymbol{a}_{y}-90\,\boldsymbol{a}_{z}\bigr)\\ \mathrm{C/m^{2}}

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