Um meio contínuo sofre a deformação x_{1}=X_{1}, x_{2}=X_{2}+A X_{3}, x_{3}= X_{3}+A X_{2}, onde A é uma constante. Obtenha os tensores de deformação de \operatorname{Green}\text{(C)} e de deformação finita de Lagrange(E). Obtenha o comprimento após a deformação ( d x da diagonal de um quadrado de lado l no plano X_{2} X_{3} cujos lados são paralelos aos eixos X_{2} e X_{3} \mathrm{R} :
Obter o tensor de Green (tensor de Cauchy–Green direito) C.
Obter o tensor de deformação finita de Lagrange E.
Calcular o comprimento, após a deformação, do elemento diagonal de um quadrado de lado l no plano X_{2}X_{3} cujos lados são paralelos aos eixos X_{2} e X_{3}.
Informações relevantes dadas: a lei de deformação acima e que o quadrado está no plano (X_{2},X_{3}) com lado l. Nada mais é pedido.
Passo 2
Primeiro passo técnico: calcular o gradiente de deformação (tensor gradiente de mapeamento) chamado de deformação ou gradiente de deformação F. Definição: cada componente de F é
F_{iJ}=\frac{\partial x_{i}}{\partial X_{J}},
onde i indica a componente espacial e J a componente material. Vamos calcular cada derivada usando a lei dada.
Explicação rápida do que é F: F transforma um vetor de referência diferencial d\mathbf{X} no vetor deformado d\mathbf{x}=F\,d\mathbf{X}. É a peça chave para tensores de deformação finita.]
Passo 3
Calcular o tensor de Cauchy–Green direito C. Definição:
C = F^{T}F.
Isto significa multiplicar a transposta de F pela própria F. Primeiro escrevo F^{T}:
Breve interpretação: C mede as mudanças quadráticas de comprimento no espaço material; é usado em grandes deformações porque contém termos não-lineares em A (como A^{2}) que capturam alongamentos normais gerados por rotações/ cisalhamentos grandes.]
Passo 4
Calcular o tensor de deformação de Lagrange (Green–Lagrange) E. Definição:
E=\frac{1}{2}\left(C - I\right),
onde I é a matriz identidade. Subtraindo I de C temos
Comentário didático: E contém as partes não-lineares (como \tfrac{A^{2}}{2}) que não aparecem na formulação linearizada. Se A for pequeno, a parte linear dominante (deformação infinitesimal) vem dos termos A nos off-diagonais; as entradas diagonais \tfrac{A^{2}}{2} são termos de segunda ordem que só aparecem em formulação finita.
Para relacionar com a deformação linear clássica \varepsilon (quando as deformações são pequenas) podemos escrever F=I+\nabla \mathbf{u} com \mathbf{u}=\mathbf{x}-\mathbf{X}. Neste caso \nabla \mathbf{u}=\begin{pmatrix}0&0&0\\[2pt]0&0&A\\[2pt]0&A&0\end{pmatrix} e a deformação linear simétrica seria
mostrando que os termos diagonais \tfrac{A^{2}}{2} são precisamente efeitos não-lineares que a formulação de Green–Lagrange captura.]
Passo 5
Agora calculamos o comprimento, após a deformação, do segmento diagonal de um quadrado de lado l no plano X_{2}X_{3}.
Vetor diferencial inicial (no referencial material) que representa a diagonal do quadrado: se o quadrado tem lados paralelos aos eixos X_{2} e X_{3} e lado l, a diagonal que vai da origem (0,0,0) até o canto oposto é
Observação: o comprimento inicial da diagonal era \sqrt{2}\,l. Após a deformação passa a ser (1+A)\sqrt{2}\,l; ou seja, a deformação aplica um fator de escala (1+A) nas componentes X_{2},X_{3} combinadas dessa diagonal.]