Um meio contínuo sofre a deformação x_{1}=X_{1}, x_{2}=X_{2}+A X_{3}, x_{3}= X_{3}+A X_{2}, onde A é uma constante. Obtenha os tensores de deformação de \operatorname{Green}\text{(C)} e de deformação finita de Lagrange(E). Obtenha o comprimento após a deformação ( d x da diagonal de um quadrado de lado l no plano X_{2} X_{3} cujos lados são paralelos aos eixos X_{2} e X_{3} \mathrm{R} :
E_{i j}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & A^{2} & 2 A \\\\ 0 & 2 A & A^{2} \end{array}\right),
d x=(1+A) \sqrt{2} l

Passo 1

O enunciado dá a transformação (mapeamento do referencial material X para o espacial x):
x_{1}=X_{1},\quad x_{2}=X_{2}+A\,X_{3},\quad x_{3}=X_{3}+A\,X_{2},
onde A é uma constante. Pede-se claramente:
  1. Obter o tensor de Green (tensor de Cauchy–Green direito) C.
  2. Obter o tensor de deformação finita de Lagrange E.
  3. Calcular o comprimento, após a deformação, do elemento diagonal de um quadrado de lado l no plano X_{2}X_{3} cujos lados são paralelos aos eixos X_{2} e X_{3}.
Informações relevantes dadas: a lei de deformação acima e que o quadrado está no plano (X_{2},X_{3}) com lado l. Nada mais é pedido.

Passo 2

Primeiro passo técnico: calcular o gradiente de deformação (tensor gradiente de mapeamento) chamado de deformação ou gradiente de deformação F. Definição: cada componente de F é
F_{iJ}=\frac{\partial x_{i}}{\partial X_{J}},
onde i indica a componente espacial e J a componente material. Vamos calcular cada derivada usando a lei dada.
Derivando termo a termo:
  • Para x_{1}=X_{1} temos
\frac{\partial x_{1}}{\partial X_{1}}=1,\quad \frac{\partial x_{1}}{\partial X_{2}}=0,\quad \frac{\partial x_{1}}{\partial X_{3}}=0.
  • Para x_{2}=X_{2}+A X_{3} temos
\frac{\partial x_{2}}{\partial X_{1}}=0,\quad \frac{\partial x_{2}}{\partial X_{2}}=1,\quad \frac{\partial x_{2}}{\partial X_{3}}=A.
  • Para x_{3}=X_{3}+A X_{2} temos
\frac{\partial x_{3}}{\partial X_{1}}=0,\quad \frac{\partial x_{3}}{\partial X_{2}}=A,\quad \frac{\partial x_{3}}{\partial X_{3}}=1.
Agrupando em matriz (linhas i, colunas J) obtemos:
F=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & A\\[4pt] 0 & A & 1 \end{pmatrix}.
Explicação rápida do que é F: F transforma um vetor de referência diferencial d\mathbf{X} no vetor deformado d\mathbf{x}=F\,d\mathbf{X}. É a peça chave para tensores de deformação finita.]

Passo 3

Calcular o tensor de Cauchy–Green direito C. Definição:
C = F^{T}F.
Isto significa multiplicar a transposta de F pela própria F. Primeiro escrevo F^{T}:
F^{T}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & A\\[4pt] 0 & A & 1 \end{pmatrix},
que, neste caso, é igual a F (a matriz é simétrica). Agora multiplicamos termo a termo para obter cada componente C_{IJ}=\sum_{k}F_{kI}F_{kJ}.
Calculemos os componentes relevantes:
  • C_{11} = 1\cdot1 + 0\cdot0 + 0\cdot0 = 1.
  • C_{12} = 1\cdot0 + 0\cdot1 + 0\cdot A = 0.
  • C_{13} = 1\cdot0 + 0\cdot A + 0\cdot1 = 0.
  • C_{22} = 0\cdot0 + 1\cdot1 + A\cdot A = 1 + A^{2}.
  • C_{23} = 0\cdot0 + 1\cdot A + A\cdot1 = 2A.
  • C_{33} = 0\cdot0 + A\cdot A + 1\cdot1 = 1 + A^{2}.
Como C é simétrico, C_{21}=C_{12} e C_{32}=C_{23}. Assim obtemos a matriz:
C=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1+A^{2} & 2A\\[4pt] 0 & 2A & 1+A^{2} \end{pmatrix}.
Breve interpretação: C mede as mudanças quadráticas de comprimento no espaço material; é usado em grandes deformações porque contém termos não-lineares em A (como A^{2}) que capturam alongamentos normais gerados por rotações/ cisalhamentos grandes.]

Passo 4

Calcular o tensor de deformação de Lagrange (Green–Lagrange) E. Definição:
E=\frac{1}{2}\left(C - I\right),
onde I é a matriz identidade. Subtraindo I de C temos
C-I=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & A^{2} & 2A\\[4pt] 0 & 2A & A^{2} \end{pmatrix}.
Agora multiplicando por 1/2:
E=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & A^{2} & 2A\\[4pt] 0 & 2A & A^{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & \dfrac{A^{2}}{2} & A\\[8pt] 0 & A & \dfrac{A^{2}}{2} \end{pmatrix}.
Comentário didático: E contém as partes não-lineares (como \tfrac{A^{2}}{2}) que não aparecem na formulação linearizada. Se A for pequeno, a parte linear dominante (deformação infinitesimal) vem dos termos A nos off-diagonais; as entradas diagonais \tfrac{A^{2}}{2} são termos de segunda ordem que só aparecem em formulação finita.
Para relacionar com a deformação linear clássica \varepsilon (quando as deformações são pequenas) podemos escrever F=I+\nabla \mathbf{u} com \mathbf{u}=\mathbf{x}-\mathbf{X}. Neste caso \nabla \mathbf{u}=\begin{pmatrix}0&0&0\\[2pt]0&0&A\\[2pt]0&A&0\end{pmatrix} e a deformação linear simétrica seria
\varepsilon=\frac{1}{2}\big(\nabla\mathbf{u}+(\nabla\mathbf{u})^{T}\big) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & A\\[4pt] 0 & A & 0 \end{pmatrix},
mostrando que os termos diagonais \tfrac{A^{2}}{2} são precisamente efeitos não-lineares que a formulação de Green–Lagrange captura.]

Passo 5

Agora calculamos o comprimento, após a deformação, do segmento diagonal de um quadrado de lado l no plano X_{2}X_{3}.
  1. Vetor diferencial inicial (no referencial material) que representa a diagonal do quadrado: se o quadrado tem lados paralelos aos eixos X_{2} e X_{3} e lado l, a diagonal que vai da origem (0,0,0) até o canto oposto é
d\mathbf{X}=l\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
  1. Aplicar F para obter o vetor deformado:
d\mathbf{x}=F\,d\mathbf{X} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & A\\[4pt] 0 & A & 1 \end{pmatrix} l\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix} = l\begin{pmatrix} 0\\[4pt] 1+A\\[4pt] 1+A \end{pmatrix}.
  1. Comprimento do vetor deformado (norma Euclidiana):
\|d\mathbf{x}\|=l\sqrt{(1+A)^{2}+(1+A)^{2}}=l\sqrt{2(1+A)^{2}}=l(1+A)\sqrt{2}.
Observação: o comprimento inicial da diagonal era \sqrt{2}\,l. Após a deformação passa a ser (1+A)\sqrt{2}\,l; ou seja, a deformação aplica um fator de escala (1+A) nas componentes X_{2},X_{3} combinadas dessa diagonal.]

Resposta

E=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & A^{2} & 2A\\[4pt] 0 & 2A & A^{2} \end{pmatrix}
d x=(1+A)\sqrt{2}\,l]

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