Se
é antisimétrico e
é simétrico, mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
é antissimétrico e
é simétrico, então a soma contraída
vale zero.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
-
é simétrico: isto é, para todos . -
é antissimétrico: isto é, para todos . - A expressão a avaliar é
. (Aqui usamos a convenção de soma sobre índices repetidos: .)
Passo 2
Explique o que significam as propriedades que temos (mais devagar, como na prova):\n
- “Simétrico” significa que trocar os índices não altera a componente. Em notação:
- “Antissimétrico” significa que trocar os índices muda o sinal:
Essas definições são as que vamos usar diretamente nas contas.
Passo 3
Explique o que é a expressão
e por que podemos trocar índices de soma:\n
A expressão é uma soma dupla sobre
e
, ou seja,
A expressão
Os índices
e
são chamados índices “dummys” (ou seja, índices de soma). Como são apenas variáveis de soma, podemos renomeá‑los ou permutá‑los livremente sem alterar o valor da soma. Em particular, trocar
por
e
por
deixa a soma inalterada.
Passo 4
Defina a quantidade que vamos analisar e faça a troca de índices:\n
Seja
Seja
Agora trocamos os nomes dos índices de soma
. Como explicado, isso não altera o valor da soma, então também vale
Passo 5
Aplique as propriedades de simetria/antissimetria às expressões obtidas:\n
Usando (simetria de
) e
(antissimetria de
), obtemos
Usando
Passo 6
Conclua a partir da igualdade obtida:\n
Da igualdade segue que
, logo
. Portanto
Da igualdade
Passo 7
Mostre com um exemplo concreto (para fixar a ideia):\n
Considere matrizes . Seja
Considere matrizes
e
A contração é
Isso exemplifica na prática porque as contribuições se cancelam par a par.
Passo 8
Resumo final didático, como usar isso na prova:\n
- Ao ver uma contração entre um tensor simétrico e um antissimétrico, lembre: trocar os índices na soma dá o negativo, portanto a soma deve ser zero. \n- Técnica rápida na prova: escreva
, troque e aplique as propriedades , para obter , daí . É curto e seguro.