Se B_{i j} é antisimétrico e A_{i j} é simétrico, mostre que A_{i j} B_{i j}=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se B_{ij} é antissimétrico e A_{ij} é simétrico, então a soma contraída A_{ij}B_{ij} vale zero.\n
Informações dadas:
  • A_{ij} é simétrico: isto é, A_{ij}=A_{ji} para todos i,j.
  • B_{ij} é antissimétrico: isto é, B_{ij}=-B_{ji} para todos i,j.
  • A expressão a avaliar é A_{ij}B_{ij}. (Aqui usamos a convenção de soma sobre índices repetidos: A_{ij}B_{ij}=\sum_i\sum_j A_{ij}B_{ij}.)

Passo 2

Explique o que significam as propriedades que temos (mais devagar, como na prova):\n
  • “Simétrico” significa que trocar os índices não altera a componente. Em notação:
A_{ij}=A_{ji}\quad\text{para todos }i,j.
  • “Antissimétrico” significa que trocar os índices muda o sinal:
B_{ij}=-B_{ji}\quad\text{para todos }i,j.
Essas definições são as que vamos usar diretamente nas contas.

Passo 3

Explique o que é a expressão A_{ij}B_{ij} e por que podemos trocar índices de soma:\n
A expressão A_{ij}B_{ij} é uma soma dupla sobre i e j, ou seja,
A_{ij}B_{ij}=\sum_{i}\sum_{j} A_{ij}B_{ij}.
Os índices i e j são chamados índices “dummys” (ou seja, índices de soma). Como são apenas variáveis de soma, podemos renomeá‑los ou permutá‑los livremente sem alterar o valor da soma. Em particular, trocar i por j e j por i deixa a soma inalterada.

Passo 4

Defina a quantidade que vamos analisar e faça a troca de índices:\n
Seja
S := A_{ij}B_{ij}=\sum_{i}\sum_{j} A_{ij}B_{ij}.
Agora trocamos os nomes dos índices de soma i\leftrightarrow j. Como explicado, isso não altera o valor da soma, então também vale
S = A_{ji}B_{ji}.

Passo 5

Aplique as propriedades de simetria/antissimetria às expressões obtidas:\n
Usando A_{ji}=A_{ij} (simetria de A) e B_{ji}=-B_{ij} (antissimetria de B), obtemos
S = A_{ji}B_{ji} = A_{ij}(-B_{ij}) = -A_{ij}B_{ij} = -S.

Passo 6

Conclua a partir da igualdade obtida:\n
Da igualdade S=-S segue que 2S=0, logo S=0. Portanto
A_{ij}B_{ij}=0.

Passo 7

Mostre com um exemplo concreto (para fixar a ideia):\n
Considere matrizes 2\times2. Seja
A=\begin{pmatrix} a & b \\\ b & c \end{pmatrix}\quad\text{(simétrica)}é
e
B=\begin{pmatrix} 0 & d \\\\ -d & 0 \end{pmatrix}\quad\text{(antissimétrica)}.é
A contração é
A_{ij}B_{ij}=a\cdot 0 + b\cdot d + b\cdot(-d) + c\cdot 0 = bd - bd = 0.
Isso exemplifica na prática porque as contribuições se cancelam par a par.

Passo 8

Resumo final didático, como usar isso na prova:\n
  • Ao ver uma contração entre um tensor simétrico e um antissimétrico, lembre: trocar os índices na soma dá o negativo, portanto a soma deve ser zero. \n- Técnica rápida na prova: escreva S=A_{ij}B_{ij}, troque i\leftrightarrow j e aplique as propriedades A_{ji}=A_{ij}, B_{ji}=-B_{ij} para obter S=-S, daí S=0. É curto e seguro.

Resposta

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