Mostre que o tensor B_{i k}=\epsilon_{i j k} a_{j} é antisimétrici, isto é, B_{k i}=-B_{i k}

Passo 1

O enunciado dá a tensora B_{ik} definida por
B_{ik}=\epsilon_{ijk}\,a_{j}
e pede para mostrar que B_{ik} é antissimétrica, isto é, provar que
B_{ki}=-B_{ik}.
Informações explícitas do enunciado: a expressão de B_{ik} em termos do símbolo de Levi-Civita \epsilon_{ijk} e dos componentes a_{j} de um vetor. Assume-se a convenção de soma de Einstein (índices repetidos são somados).

Passo 2

Vamos entender bem o que aparecem nos símbolos (aula rápida e prática).
\epsilon_{ijk}\) é o símbolo de Levi-Civita em três dimensões. Suas propriedades essenciais são: \[\epsilon_{ijk}= \begin{cases} +1 & \text{se \((i,j,k) é uma permutação par de (1,2,3)},\[4pt] -1 & se (i,j,k) é uma permutação ímpar de (1,2,3),\[4pt] 0 & se dois ou mais índices são iguais. \end{cases}]
“Permutação par/ímpar” significa que trocar duas posições (uma transposição) muda o sinal de \epsilon. Em palavras simples: \epsilon é totalmente antissimétrico — trocar qualquer par de índices inverte o sinal. Outro ponto importante: a soma de Einstein significa que quando um índice aparece repetido (como j em \epsilon_{ijk} a_j) estamos somando j=1,2,3.]

Passo 3

Escrevo explicitamente B_{ki} trocando os índices externos:
B_{ki}=\epsilon_{k j i}\,a_{j}.
Aqui j continua sendo o índice de soma (índice “dummy”), ou seja, somamos j=1,2,3. Note que não alterei j; apenas troquei a ordem dos índices i e k na posição do \epsilon.

Passo 4

Agora uso a propriedade de antissimetria do símbolo de Levi-Civita: trocar dois índices muda o sinal. Em particular, trocar os índices i e k
\epsilon_{kji}=-\epsilon_{ijk}.
Isto ocorre porque a permutação que leva (i,j,k) em (k,j,i) é uma transposição (troca de i e k), ou seja, muda o sinal do \epsilon.

Passo 5

Substituo a identidade do Passo 4 em B_{ki}:
B_{ki}=\epsilon_{k j i}\,a_{j} = -\epsilon_{i j k}\,a_{j}.
Mas a expressão do lado direito é exatamente -B_{ik}, pois por definição B_{ik}=\epsilon_{i j k}\,a_{j}. Portanto
B_{ki}=-B_{ik}.

Passo 6

Para fixar a intuição, veja o exemplo concreto em componentes: para \mathbf{a}=(a_{1},a_{2},a_{3}) a matriz de componentes B_{ik} é
B=\begin{pmatrix} 0 & -a_{3} & a_{2}\\[4pt] a_{3} & 0 & -a_{1}\\[4pt] -a_{2} & a_{1} & 0 \end{pmatrix}.
Nessa forma é fácil ver que B^{T}=-B, ou seja, a transposta é o negativo — que é a mesma afirmação que B_{ki}=-B_{ik}. Esse exemplo também mostra por que tensores construídos com \epsilon_{ijk} são naturalmente antissimétricos.]

Resposta

B_{ki}=-B_{ik}

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