Depois do meio dia, a que hora o ponteiro dos minutos estará na mesma posição do ponteiro das horas?
Passo 1
Beleza, a questão diz: “Depois do meio‐dia, a que hora o ponteiro dos minutos estará na mesma posição do ponteiro das horas?”
Conteúdo: Cinemática angular dos ponteiros de relógio (velocidade angular e posição angular).
O que vamos usar:
Conteúdo: Cinemática angular dos ponteiros de relógio (velocidade angular e posição angular).
O que vamos usar:
- Saber que o ponteiro dos minutos gira 360° em 60 min (6°/min).
- Saber que o ponteiro das horas gira 360° em 12 h → 30°/h → 0,5°/min.
- Montar uma equação igualando as posições angulares para encontrar o tempo depois de 12:00.
Passo 2
Definindo variável:
• Seja o número de minutos depois das 12:00.
• Ângulo do ponteiro dos minutos (contando do “12”):
(pois 6° por minuto).
• Ângulo do ponteiro das horas (a partir de 12:00):
(0,5° por minuto).
• Seja
• Ângulo do ponteiro dos minutos (contando do “12”):
• Ângulo do ponteiro das horas (a partir de 12:00):
Passo 3
Para que eles fiquem na mesma posição, queremos
coincidir com
, mas note que isso pode ocorrer após o ponteiro dos minutos ter dado uma volta completa (360°) extra. Então a equação geral é:
onde
é um inteiro (quantas voltas inteiras o minuto deu a mais que a hora).
Passo 4
Como já estamos em 12:00 e queremos a primeira coincidência depois disso (ignorando
), tomamos
:
Agora convertemos 65,4545 min em horas, minutos e segundos:
• Horas: 65,4545 min = 1 h + (65,4545 min − 60 min) = 1 h + 5,4545 min
• Minutos: 5,4545 min = 5 min + 0,4545×60 s ≈ 5 min + 27,27 s
• Horas: 65,4545 min = 1 h + (65,4545 min − 60 min) = 1 h + 5,4545 min
• Minutos: 5,4545 min = 5 min + 0,4545×60 s ≈ 5 min + 27,27 s
Resposta
Depois do meio‐dia, o ponteiro dos minutos alcança o das horas às aproximadamente 13:05:27.