Depois do meio dia, a que hora o ponteiro dos minutos estará na mesma posição do ponteiro das horas?

Passo 1

Beleza, a questão diz: “Depois do meio‐dia, a que hora o ponteiro dos minutos estará na mesma posição do ponteiro das horas?”
Conteúdo: Cinemática angular dos ponteiros de relógio (velocidade angular e posição angular).
O que vamos usar:
  1. Saber que o ponteiro dos minutos gira 360° em 60 min (6°/min).
  2. Saber que o ponteiro das horas gira 360° em 12 h → 30°/h → 0,5°/min.
  3. Montar uma equação igualando as posições angulares para encontrar o tempo depois de 12:00.

Passo 2

Definindo variável:
• Seja o número de minutos depois das 12:00.
• Ângulo do ponteiro dos minutos (contando do “12”):
(pois 6° por minuto).
• Ângulo do ponteiro das horas (a partir de 12:00):
(0,5° por minuto).

Passo 3

Para que eles fiquem na mesma posição, queremos 6t = 0,5t + 360^circcdot k, coincidir com , mas note que isso pode ocorrer após o ponteiro dos minutos ter dado uma volta completa (360°) extra. Então a equação geral é:
onde é um inteiro (quantas voltas inteiras o minuto deu a mais que a hora).

Passo 4

Como já estamos em 12:00 e queremos a primeira coincidência depois disso (ignorando 6t = 0,5t + 360 Longrightarrow 6t - 0,5t = 360 Longrightarrow 5,5,t = 360 Longrightarrow t = 3605,5 approx 65,4545 minutos ), tomamos :
Agora convertemos 65,4545 min em horas, minutos e segundos:
• Horas: 65,4545 min = 1 h + (65,4545 min − 60 min) = 1 h + 5,4545 min
• Minutos: 5,4545 min = 5 min + 0,4545×60 s ≈ 5 min + 27,27 s

Resposta

Depois do meio‐dia, o ponteiro dos minutos alcança o das horas às aproximadamente 13:05:27.

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