Obtenha as equações paramétricas da reta que representa a interseção dos planos:
l x=1+2 lambda+3 mu y=-3+lambda-4 mu z=5+2 lambda+mu
l x=1+lambda+2 mu y=1+2 lambda+mu z=2-lambda

Passo 1

Beleza! O enunciado quer a reta que é a interseção de dois planos, cada um dado por equações paramétricas. O conteúdo aqui é geometria analítica no espaço: vamos usar produto vetorial pra achar normais e direção da reta, e depois achar um ponto que esteja em ambos os planos. Tudo explicado do zero!

Passo 2

Primeiro, para cada plano, identificamos dois vetores diretores e calculamos sua normal usando produto vetorial.
Plano 1:
Vetores diretores
v1=(2,1,2), v2=(3,-4,1)
A normal é
$$\mathbf{n}_1=\mathbf{v}_1\times\mathbf{v}_2
= n1=v1timesv2 = i&j&k 2&1&2 3&-4&1 =(9,4,-11)
=(9,4,-11). w1=(1,2,-1), w2=(2,1,0)\mathbf{w}_1=(1,2,-1),\quad \mathbf{w}_2=(2,1,0).$$
A normal é
n2=w1timesw2 = i&j&k 1&2&-1 2&1&0 =(1,-2,-3)

Passo 3

A direção da reta de interseção é ortogonal a n1 e a n2, então usamos outro produto vetorial:
d=n1timesn2 = i&j&k 9&4&-11 1&-2&-3 =(-34,16,-22)
Para ficar mais bonitinho, dividimos por 2:
d=(-17,8,-11)

Passo 4

Agora precisamos de um ponto que satisfaça as duas parametrizações. Chamemos os parâmetros do plano 1 de lambda,mu e do plano 2 de s,t.
  1. Igualamos as coordenadas x,y,z de cada plano e obtemos um sistema em lambda,mu,s,t.
  2. Fazendo zero a álgebra (escolhendo mu=0 para simplificar), achamos
lambda=-tfrac16, mu=0, s=-tfrac83, t=tfrac76
3) Substituindo lambda=-tfrac16,mu=0 na parametrização do plano 1 dá um ponto na reta:
Pl(tfrac23,,-tfrac196,,tfrac143r)

Passo 5

Com o ponto P e o vetor direção d, a equação paramétrica da reta é
x=tfrac23-17,t, y=-tfrac196+8,t, z=tfrac143-11,t, tinR

Resposta

As equações paramétricas da reta de interseção são
boxed x&=tfrac23-17,t, y&=-tfrac196+8,t, z&=tfrac143-11,t, tinR

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