Obtenha as equações paramétricas da reta que representa a interseção dos planos: l x=1+lambda+2 mu y=1+2 lambda+mu z=2-lambda
Passo 1
Beleza! O enunciado quer a reta que é a interseção de dois planos, cada um dado por equações paramétricas. O conteúdo aqui é geometria analítica no espaço: vamos usar produto vetorial pra achar normais e direção da reta, e depois achar um ponto que esteja em ambos os planos. Tudo explicado do zero!
Passo 2
Primeiro, para cada plano, identificamos dois vetores diretores e calculamos sua normal usando produto vetorial.
Plano 1:
Vetores diretores
v1=(2,1,2), v2=(3,-4,1)
A normal é
$$\mathbf{n}_1=\mathbf{v}_1\times\mathbf{v}_2
A direção da reta de interseção é ortogonal a n1 e a n2, então usamos outro produto vetorial:
d=n1timesn2 = i&j&k 9&4&-11 1&-2&-3 =(-34,16,-22)
Para ficar mais bonitinho, dividimos por 2:
d=(-17,8,-11)
Passo 4
Agora precisamos de um ponto que satisfaça as duas parametrizações. Chamemos os parâmetros do plano 1 de lambda,mu e do plano 2 de s,t.
Igualamos as coordenadas x,y,z de cada plano e obtemos um sistema em lambda,mu,s,t.
Fazendo zero a álgebra (escolhendo mu=0 para simplificar), achamos
lambda=-tfrac16, mu=0, s=-tfrac83, t=tfrac76
3) Substituindo lambda=-tfrac16,mu=0 na parametrização do plano 1 dá um ponto na reta: Pl(tfrac23,,-tfrac196,,tfrac143r)
Passo 5
Com o ponto P e o vetor direção d, a equação paramétrica da reta é