Um gato pula em um carrossel que descreve um movimento circular uniforme. No instante t1=2,00
s, o gato se encontra no ponto (x, y)=(3,00 m, 4,00 m), com velocidade v1=(-1,50 m / s) i+ (3,00 m / s) j e aceleração a1=(4,00 m / s^2) i+(-6,00 m / s^2) j. Quais são (a) a coordenada x e (b) a coordenada y do centro da trajetória circular? Quais são © o módulo e (d) o sentido (em relação ao sentido positivo de x ) da velocidade do gato no instante t2=5,00 s ?

Passo 1

Beleza! Temos um gato que pula num carrossel fazendo Movimento Circular Uniforme (MCU).
Enunciado em resumo:
  • Num instante ,s, ele está em .
  • A velocidade nesse instante é .
  • A aceleração é .
O que a questão pede:
(a) coordenada do centro da trajetória
(b) coordenada do centro da trajetória
© módulo da velocidade em ,s
(d) direção da velocidade em (ângulo medido a partir do eixo )
Conteúdo/teoria que vamos usar:
  • No MCU a aceleração é centrípeta: .
  • Módulo da aceleração: .
  • O vetor aceleração aponta para o centro.
  • Velocidade mantém módulo constante e gira com a mesma taxa angular .

Passo 2

Vamos achar primeiro o raio v = raiz(-1,50)^2 + (3,00)^2 = raiz2,25 + 9 = raiz11,25 approx 3,354 m/s e daí o centro a = raiz4,00^2 + (-6,00)^2 = raiz16 + 36 = raiz52 approx 7,211 m/s^2 .
  1. Módulo da velocidade em R = v^2a = (3,354)^27,211 = 11,257,211 approx 1,560 m :
De
  1. Módulo da aceleração em l(xC,yCr) = (3,00,,4,00) + (0,865,,-1,298) approx (3,865,,2,702) :
  1. Raio da trajetória pelo centrípeto :
  1. Direção do vetor aponta para o centro. Então o vetor do ponto até o centro é
  1. Coordenadas do centro:
Portanto:
(a) ,m
(b) ,m

Passo 3

Agora achamos omega = vR = 3,3541,560 approx 2,149 rad/s em De,s.
  1. A taxa angular é
v2x = v1xcosDe
  1. O intervalo é v2x = (-1,50)times0,9866 - 3,00times(-0,1634) approx -0,99 m/s, ,s, então a mudança de fase é
v2y = (-1,50)times(-0,1634) + 3,00times0,9866 approx 3,205 m/s
Como o movimento é horário (vê-se pela posição de |vec v2| = raiz(-0,99)^2 + (3,205)^2 = raiz11,25 approx 3,354 m/s e phi = arctan!l(tfracv2yv2xr) = arctan!l(tfrac3,205-0,99r) approx 107,1^circ ), isso equivale a girar de ,rad.
  1. Para girar o vetor em um ângulo :
Note que e .
Então
  1. Módulo de :
  1. Direção em relação ao eixo :
(ângulo medido CCW desde o , caindo no quadrante II).

Resposta

(a) ,m
(b) ,m
© ,m/s
(d) direção em relação ao sentido positivo de .

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