Em um meio homogêneo e infinito, a seção de choque de espalhamento (
) para nêutrons a
é de 5,0 barns. Neste meio, é colocada uma fonte plana infinita que emite
nêutrons/(
).
Considere que:
- A densidade atômica desse meio é
átomos
.
- O número de massa atômica desse meio é
.
- O comprimento de difusão é
.
- O fluxo de nêutrons, em função de
(distância da fonte), é dado pela solução da equação de difusão para fonte plana:
Determine:
a) O coeficiente de difusão
, em cm .
b) O valor do fluxo de nêutrons (
) na posição
da fonte.
c) O vetor densidade de corrente de nêutrons
e sua magnitude na posição
.
Considere que:
a) O coeficiente de difusão
b) O valor do fluxo de nêutrons (
c) O vetor densidade de corrente de nêutrons
Passo 1
O enunciado pede três coisas e fornece dados. Vou listar claramente o que é pedido e todas as informações dadas (tudo em notação matemática):
As perguntas são:
a) Calcular o coeficiente de difusão (em cm).
b) Calcular o fluxo de nêutrons na posição
.
c) Calcular o vetor densidade de corrente de nêutrons e sua magnitude em
.
a) Calcular o coeficiente de difusão
b) Calcular o fluxo de nêutrons
c) Calcular o vetor densidade de corrente de nêutrons
Passo 2
Primeira coisa que usamos: converter seção eficaz micrométrica para macroscópica. Explico a ideia e a fórmula:
- A seção eficaz microscópica
(unidade: ) se transforma em seção macroscópica multiplicando pela densidade atômica :
- Conversão de unidades:
. Então
Calculemos a seção macroscópica de espalhamento
:
Comentário rápido:
é a probabilidade por unidade de comprimento de um nêutron sofrer espalhamento.
Passo 3
Agora precisamos do chamado coeficiente de transporte (transport macroscopic cross section)
. Conceito e fórmula:
- Em difusão usamos
, onde é a média do cosseno do ângulo de espalhamento no referencial laboratório. A ideia: se o espalhamento for muito para frente ( próximo de 1), o nêutron praticamente continua, então a efetiva “atenuação direcional” é menor. - Para espalhamento elástico em núcleos de massa
(núcleo inicialmente em repouso) e espalhamento isotrópico no referencial do centro de massa, a média no referencial laboratório é aproximadamente
(Isto vem de cálculo cinemático para espalhamento elástico isotrópico no CM; é uma fórmula padrão e suficiente aqui.)
Calculemos com
:
Calculemos
Então
Passo 4
Definição e cálculo do coeficiente de difusão
:
- No modelo de difusão linear comum, o coeficiente de difusão é dado por
Explicação: intuitivamente
é o caminho livre efetivo entre mudanças de direção significativas e o fator
vem da média geométrica em três dimensões (relaciona fluxo e gradiente).
Substituindo o valor de :
Substituindo o valor de
Arredondando de forma prática para a prova, podemos escrever
.
Passo 5
Agora usamos a expressão dada para o fluxo e calculamos em
.
A fórmula:
A fórmula:
Para
(positivo),
. Já temos
,
e
.
Calcule o fator prefatorial:
Calcule o fator prefatorial:
O expoente:
Multiplicando:
Arredondando razoavelmente:
.
Passo 6
Cálculo do vetor densidade de corrente de nêutrons
.
- Na aproximação de difusão vale a lei de Fick:
- Aqui o problema é unidimensional (variação só com
), então
Derivamos
para
:
Então
Observação útil (e prática para prova): o
cancela — o fluxo de corrente tem forma simples
.
Agora avalie em :
Agora avalie em
Portanto a magnitude é
Direção: para
o vetor
aponta no sentido positivo de
(isto é, sai da fonte em
).
Resposta
a)
b)
c) \n
b)
c)