Em um meio homogêneo e infinito, a seção de choque de espalhamento ( \sigma_{s} ) para nêutrons a 0,25 \mathrm{eV} é de 5,0 barns. Neste meio, é colocada uma fonte plana infinita que emite 10^{6} nêutrons/( \mathrm{cm}^{2} \cdot \mathrm{~s} ).
Considere que:
  • A densidade atômica desse meio é N=0,05 \times 10^{24} átomos / \mathrm{cm}^{3}.
  • O número de massa atômica desse meio é A=20.
  • O comprimento de difusão é L=3 \mathrm{~cm}.
  • O fluxo de nêutrons, em função de x (distância da fonte), é dado pela solução da equação de difusão para fonte plana:
\varphi(x)=\frac{S \cdot L}{2 D} e^{-|x| / L}
Determine:
a) O coeficiente de difusão D, em cm .
b) O valor do fluxo de nêutrons ( \varphi ) na posição x=10 \mathrm{~cm} da fonte.
c) O vetor densidade de corrente de nêutrons (J) e sua magnitude na posição x=10 \mathrm{~cm}.

Passo 1

O enunciado pede três coisas e fornece dados. Vou listar claramente o que é pedido e todas as informações dadas (tudo em notação matemática):
\text{Dado:}\quad \sigma_{s}=5{,}0\\ \text{barns},\quad S=10^{6}\\ \frac{\text{n}}{\text{cm}^{2}\cdot\text{s}},\quad N=0{,}05\times10^{24}\\ \frac{\text{átomos}}{\text{cm}^{3}},á
A=20,\quad L=3\\ \text{cm},
\varphi(x)=\frac{S\cdot L}{2D}e^{-|x|/L}.
As perguntas são:
a) Calcular o coeficiente de difusão D (em cm).
b) Calcular o fluxo de nêutrons \varphi na posição x=10\\ \text{cm}.
c) Calcular o vetor densidade de corrente de nêutrons \mathbf{J} e sua magnitude em x=10\\ \text{cm}.

Passo 2

Primeira coisa que usamos: converter seção eficaz micrométrica para macroscópica. Explico a ideia e a fórmula:
  • A seção eficaz microscópica \sigma (unidade: \text{cm}^{2}) se transforma em seção macroscópica \Sigma multiplicando pela densidade atômica N:
\Sigma = N\sigma.
  • Conversão de unidades: 1\\ \text{barn}=10^{-24}\\ \text{cm}^{2}. Então
\sigma_{s}=5{,}0\\ \text{barn}=5{,}0\times10^{-24}\\ \text{cm}^{2}.
Calculemos a seção macroscópica de espalhamento \Sigma_{s}:
\Sigma_{s}=N\sigma_{s}=(0{,}05\times10^{24})\times(5{,}0\times10^{-24})=0{,}25\\ \text{cm}^{-1}.
Comentário rápido: \Sigma_{s} é a probabilidade por unidade de comprimento de um nêutron sofrer espalhamento.

Passo 3

Agora precisamos do chamado coeficiente de transporte (transport macroscopic cross section) \Sigma_{tr}. Conceito e fórmula:
  • Em difusão usamos \Sigma_{tr}=\Sigma_{s}(1-\bar{\mu}), onde \bar{\mu} é a média do cosseno do ângulo de espalhamento no referencial laboratório. A ideia: se o espalhamento for muito para frente ( \bar{\mu} próximo de 1), o nêutron praticamente continua, então a efetiva “atenuação direcional” é menor.
  • Para espalhamento elástico em núcleos de massa A (núcleo inicialmente em repouso) e espalhamento isotrópico no referencial do centro de massa, a média no referencial laboratório é aproximadamente
\bar{\mu}=\frac{2}{3A}.
(Isto vem de cálculo cinemático para espalhamento elástico isotrópico no CM; é uma fórmula padrão e suficiente aqui.)
Calculemos \bar{\mu} com A=20:
\bar{\mu}=\frac{2}{3\cdot20}=\frac{2}{60}=\frac{1}{30}\approx0{,}03333.
Então
\Sigma_{tr}=\Sigma_{s}(1-\bar{\mu})=0{,}25\cdot\left(1-0{,}03333\right)=0{,}25\cdot0{,}96667\approx0{,}2416667\\ \text{cm}^{-1}.

Passo 4

Definição e cálculo do coeficiente de difusão D:
  • No modelo de difusão linear comum, o coeficiente de difusão é dado por
D=\frac{1}{3\Sigma_{tr}}.
Explicação: intuitivamente 1/\Sigma_{tr} é o caminho livre efetivo entre mudanças de direção significativas e o fator 1/3 vem da média geométrica em três dimensões (relaciona fluxo e gradiente).
Substituindo o valor de \Sigma_{tr}:
D=\frac{1}{3\cdot0{,}2416667}=\frac{1}{0{,}725}\approx1{,}37931034\\ \text{cm}.
Arredondando de forma prática para a prova, podemos escrever D\approx1{,}38\\ \text{cm}.

Passo 5

Agora usamos a expressão dada para o fluxo e calculamos em x=10\\ \text{cm}.
A fórmula:
\varphi(x)=\frac{S\cdot L}{2D}e^{-|x|/L}.
Para x=10\\ \text{cm} (positivo), |x|=10. Já temos S=10^{6}\\ \text{n}/(\text{cm}^{2}\cdot\text{s}), L=3\\ \text{cm} e D\approx1{,}37931034\\ \text{cm}.
Calcule o fator prefatorial:
\frac{S\cdot L}{2D}=\frac{10^{6}\cdot3}{2\cdot1{,}37931034}\approx1{,}087012\times10^{6}\\ \frac{\text{n}}{\text{cm}^{2}\cdot\text{s}}.
O expoente:
e^{-x/L}=e^{-10/3}=e^{-3{,}333333\ldots}\approx0{,}03567399.
Multiplicando:
\varphi(10)\approx1{,}087012\times10^{6}\times0{,}03567399\approx3{,}879\times10^{4}\\ \frac{\text{n}}{\text{cm}^{2}\cdot\text{s}}.
Arredondando razoavelmente: \varphi(10)\approx3{,}88\times10^{4}\\ \text{n}/(\text{cm}^{2}\cdot\text{s}).

Passo 6

Cálculo do vetor densidade de corrente de nêutrons \mathbf{J}.
  • Na aproximação de difusão vale a lei de Fick:
\mathbf{J}=-D\nabla\varphi.
  • Aqui o problema é unidimensional (variação só com x), então
J_{x}=-D\frac{d\varphi}{dx},\qquad \mathbf{J}=J_{x}\,\hat{\mathbf{x}}.
Derivamos \varphi(x) para x>0:
\varphi(x)=\frac{S L}{2D}e^{-x/L}\quad\Rightarrow\quad\frac{d\varphi}{dx}=\frac{S L}{2D}\cdot\left(-\frac{1}{L}\right)e^{-x/L}=-\frac{S}{2D}e^{-x/L}.
Então
J_{x}=-D\left(-\frac{S}{2D}e^{-x/L}\right)=\frac{S}{2}e^{-x/L}.
Observação útil (e prática para prova): o D cancela — o fluxo de corrente tem forma simples \mathbf{J}(x)=\dfrac{S}{2}e^{-x/L}\hat{\mathbf{x}}.
Agora avalie em x=10\\ \text{cm}:
\mathbf{J}(10)=\frac{S}{2}e^{-10/3}\,\hat{\mathbf{x}}=\frac{10^{6}}{2}\times0{,}03567399\,\hat{\mathbf{x}}\approx1{,}7837\times10^{4}\,\hat{\mathbf{x}}\\ \frac{\text{n}}{\text{cm}^{2}\cdot\text{s}}.
Portanto a magnitude é
|\mathbf{J}(10)|\approx1{,}78\times10^{4}\\ \frac{\text{n}}{\text{cm}^{2}\cdot\text{s}}.
Direção: para x>0 o vetor \mathbf{J} aponta no sentido positivo de x (isto é, sai da fonte em +\hat{\mathbf{x}}).

Resposta

a) D\approx1{,}38\\ \text{cm}
b) \varphi(10)\approx3{,}88\times10^{4}\\ \dfrac{\text{n}}{\text{cm}^{2}\cdot\text{s}}
c) \mathbf{J}(10)\approx1{,}78\times10^{4}\,\hat{\mathbf{x}}\\ \dfrac{\text{n}}{\text{cm}^{2}\cdot\text{s}} \n |\mathbf{J}(10)|\approx1{,}78\times10^{4}\\ \dfrac{\text{n}}{\text{cm}^{2}\cdot\text{s}}

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