Encontre a equação, os elementos principais (focos, vértices, excentricidade, centro, eixos e assíntotas) e esboce o gráfico da hipérbole caracterizada por:
Vértices em A_{1}(0,-2), A_{2}(0,2), não corta o eixo x e tem assíntotas y= \pm \frac{1}{2} x.

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma hipérbole cujos vértices são A_{1}(0,-2) e A_{2}(0,2), que não corta o eixo x e cujas assíntotas são dadas por y=\pm\frac12x. Vamos determinar o centro, os parâmetros a, b, c, a forma canônica, os focos, a excentricidade, os eixos e as assíntotas.

Passo 2

O centro (h,k) da hipérbole é o ponto médio de A_{1} e A_{2}.
h = \frac{0+0}{2} = 0,\quad k = \frac{-2 + 2}{2} = 0.
Como os vértices ficam em (0,\pm2), a hipérbole é do tipo “vertical” e o semi-eixo transverso é
a = \text{distância do centro a um vértice} = 2.âé

Passo 3

Para hipérbole vertical, as assíntotas têm equações
y - k = \pm\frac{a}{b}(x - h).
Como k=h=0 e as retas são y=\pm\tfrac12x, temos \tfrac{a}{b} = \tfrac12. Substituindo a=2
\frac{2}{b} = \frac12 \quad\Longrightarrow\quad b = 4.

Passo 4

A forma canônica da hipérbole vertical com centro na origem é
\frac{y^2}{a^2} \;-\;\frac{x^2}{b^2} \;=\;1.
Substituindo a=2 e b=4 resulta
\frac{y^2}{4} \;-\;\frac{x^2}{16} = 1.

Passo 5

O parâmetro focal c satisfaz
c^2 = a^2 + b^2 = 4 + 16 = 20,
logo c = \sqrt{20} = 2\sqrt5. Os focos são
(0,\pm c) = \bigl(0,\pm2\sqrt5\bigr).

Passo 6

A excentricidade é
e = \frac{c}{a} = \frac{2\sqrt5}{2} = \sqrt5.

Passo 7

Os eixos principais são:
\bullet eixo transverso vertical de comprimento 2a = 4, ligando (0,-2) a (0,2).
\bullet eixo conjugado horizontal de comprimento 2b = 8, centrado em (0,0).
As assíntotas ficam
y = \pm \frac12\,x.

Passo 8

Esboço do gráfico: dois ramos simétricos em torno do eixo y, um acima do centro e outro abaixo, aproximando-se das retas y=\frac12x e y=-\frac12x sem cruzá-las e sem interceptar o eixo x.

Resposta

Equação:
\frac{y^2}{4} \;-\;\frac{x^2}{16} = 1.
Centro: (0,0)
Vértices: (0,2), (0,-2)
Focos: \bigl(0,2\sqrt5\bigr), \bigl(0,-2\sqrt5\bigr)
Excentricidade: e=\sqrt5
Eixo transverso: segmento vertical de comprimento 4
Eixo conjugado: segmento horizontal de comprimento 8
Assíntotas: y = \pm \tfrac12 x
Gráfico: ramos abertos para cima e para baixo, tangenciando as assíntotas sem tocar o eixo x.

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