Uma membrana horizontal oscila harmonicamente ao longo de um eixo vertical com uma frequência angular igual a \omega. Determine a amplitude das oscilações, caso um grão de areia que esteja sobre a membrana, ao saltar da mesma, atinja uma altura máxima de H em relação à posição de equilíbrio da membrana.
a) \mathrm{A}=\frac{\mathrm{g}}{\omega} \sqrt{\frac{\mathrm{H}}{2 \mathrm{~g}}-\frac{1}{2 \omega^{2}}}
b) \mathrm{A}=\frac{\mathrm{g}}{2 \omega} \sqrt{\frac{\mathrm{H}}{\mathrm{g}}-\frac{1}{\omega^{2}}}
c) \mathrm{A}=\frac{\mathrm{g}}{2 \omega} \sqrt{\frac{\mathrm{H}}{2 \mathrm{~g}}-\frac{1}{\omega^{2}}}
d) \mathrm{A}=\frac{\mathrm{g}}{\omega} \sqrt{\frac{2 \mathrm{H}}{\mathrm{g}}-\frac{1}{\omega^{2}}}
e) \quad \mathrm{A}=\frac{\mathrm{g}}{\omega} \sqrt{\frac{\mathrm{H}}{\mathrm{g}}-\frac{2}{\omega^{2}}}

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar a amplitude A das oscilações da membrana, sabendo que um grão de areia que está sobre ela, ao saltar, atinge altura máxima H em relação à posição de equilíbrio da membrana.
Informações dadas e hipóteses claras (tudo que o enunciado fornece ou que precisamos assumir para resolver):
  • A membrana oscila harmonicamente ao longo do eixo vertical com frequência angular \omega.
  • Queremos a amplitude A da oscilação (distância máxima da membrana em relação à posição de equilíbrio).
  • O grão de areia está inicialmente em contato com a membrana e no instante em que perde contato (salta), a partir desse instante entra em movimento sob a ação apenas da gravidade g.
  • A altura máxima H atingida pelo grão é medida em relação à posição de equilíbrio da membrana.
  • Vamos assumir a forma usual para o movimento harmônico simples da membrana: posição vertical y_m(t) medida a partir do equilíbrio.

Passo 2

Escrever a equação do movimento da membrana e suas derivadas (isso é padrão para movimento harmônico simples).
Escolho a representação
y_m(t)=A\cos(\omega t),
onde y_m é a posição vertical da membrana medida a partir do ponto de equilíbrio, A é a amplitude que queremos achar e \omega é a frequência angular dada. Explico cada termo:
  • A (metros) é a amplitude da oscilação.
  • \omega (rad/s) é a frequência angular.
  • t (s) é o tempo.
    A velocidade e a aceleração da membrana são as derivadas temporais:
v_m(t)=\dot y_m(t)=-A\omega\sin(\omega t),
a_m(t)=\ddot y_m(t)=-A\omega^{2}\cos(\omega t).

Passo 3

Condição de desprendimento (quando o grão salta): usar equilíbrio de forças e a normal.
No instante em que o grão perde contato com a membrana, a força normal N que a membrana exerce sobre o grão se torna zero. Pelo 2.º lei de Newton, para o grão (massa m):
m a_m = N - m g.
Assim,
N = m(a_m+g).
Desprendimento ocorre quando N=0, portanto a condição é
a_m=-g.
Substituindo a expressão da aceleração da membrana,
- A\omega^{2}\cos(\omega t_{\text{d}}) = -g,
ou seja
\cos(\omega t_{\text{d}})=\frac{g}{A\omega^{2}}.
No instante de desprendimento a posição da membrana (e portanto do grão) é
y_0 = y_m(t_{\text{d}})=A\cos(\omega t_{\text{d}})=\frac{g}{\omega^{2}}.
Observação útil e importante: esse valor y_0=\dfrac{g}{\omega^{2}} é independente de A (desde que A\omega^{2}\ge g, caso contrário o grão nunca se desprende).

Passo 4

Velocidade inicial do grão no instante do salto (essa velocidade determina até onde o grão sobe).
A velocidade do grão imediatamente antes de perder contato é a velocidade da membrana:
v_0=v_m(t_{\text{d}})=-A\omega\sin(\omega t_{\text{d}}).
Para eliminar o \sin, usamos \sin^{2}+\cos^{2}=1. Da equação anterior temos \cos(\omega t_{\text{d}})=\dfrac{g}{A\omega^{2}}, então
\sin^{2}(\omega t_{\text{d}})=1-\cos^{2}(\omega t_{\text{d}})=1-\left(\frac{g}{A\omega^{2}}\right)^{2}.
Assim o quadrado da velocidade inicial é
v_0^{2}=A^{2}\omega^{2}\sin^{2}(\omega t_{\text{d}})=A^{2}\omega^{2}\left[1-\left(\frac{g}{A\omega^{2}}\right)^{2}\right].
Fazendo as contas:
v_0^{2}=A^{2}\omega^{2}-\frac{g^{2}}{\omega^{2}}.

Passo 5

Usar cinemática (energia cinética → altura máxima) para relacionar v_0, y_0 e H.
Após o desprendimento, o grão sobe sob a ação da gravidade até atingir a altura máxima H (medida a partir do ponto de equilíbrio). A variação de altura adicional a partir do ponto de salto até o pico é \Delta h = \dfrac{v_0^{2}}{2g}. Como o salto começou em y_0, a altura máxima total em relação ao equilíbrio é
H = y_0 + \frac{v_0^{2}}{2g}.
Substituindo y_0=\dfrac{g}{\omega^{2}} e v_0^{2}=A^{2}\omega^{2}-\dfrac{g^{2}}{\omega^{2}}, obtemos
H=\frac{g}{\omega^{2}}+\frac{1}{2g}\left(A^{2}\omega^{2}-\frac{g^{2}}{\omega^{2}}\right).
Agora fazemos a álgebra para isolar uma expressão em função de A^{2}. Multiplicando por 2g:
2gH = 2g\cdot\frac{g}{\omega^{2}} + A^{2}\omega^{2} - \frac{g^{2}}{\omega^{2}}.
O primeiro termo à direita é \dfrac{2g^{2}}{\omega^{2}}; somando com o último termo -\dfrac{g^{2}}{\omega^{2}} \dfrac{g^{2}}{\omega^{2}}. Assim obtemos
2gH = A^{2}\omega^{2} + \frac{g^{2}}{\omega^{2}}.
Isolando A^{2},
A^{2}=\frac{2gH}{\omega^{2}}-\frac{g^{2}}{\omega^{4}}.

Passo 6

Preparar a forma final conveniente (raízes quadradas e fatorizações) — a partir da expressão para A^{2} chegamos à forma que aparece nas alternativas.
A partir de
A^{2}=\frac{2gH}{\omega^{2}}-\frac{g^{2}}{\omega^{4}},
podemos fatorar convenientemente e simplificar para obter a expressão em termos de \dfrac{g}{\omega} e radicais. Fazendo as manipulações algébricas resulta
A=\frac{g}{\omega}\sqrt{\frac{2H}{g}-\frac{1}{\omega^{2}}}.

Resposta

(d) \mathrm{A}=\frac{\mathrm{g}}{\omega} \sqrt{\frac{2 \mathrm{H}}{\mathrm{g}}-\frac{1}{\omega^{2}}}

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