Uma membrana horizontal oscila harmonicamente ao longo de um eixo vertical com uma frequência angular igual a
. Determine a amplitude das oscilações, caso um grão de areia que esteja sobre a membrana, ao saltar da mesma, atinja uma altura máxima de H em relação à posição de equilíbrio da membrana.
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar a amplitude
das oscilações da membrana, sabendo que um grão de areia que está sobre ela, ao saltar, atinge altura máxima
em relação à posição de equilíbrio da membrana.
Informações dadas e hipóteses claras (tudo que o enunciado fornece ou que precisamos assumir para resolver):
- A membrana oscila harmonicamente ao longo do eixo vertical com frequência angular
. - Queremos a amplitude
da oscilação (distância máxima da membrana em relação à posição de equilíbrio). - O grão de areia está inicialmente em contato com a membrana e no instante em que perde contato (salta), a partir desse instante entra em movimento sob a ação apenas da gravidade
. - A altura máxima
atingida pelo grão é medida em relação à posição de equilíbrio da membrana. - Vamos assumir a forma usual para o movimento harmônico simples da membrana: posição vertical
medida a partir do equilíbrio.
Passo 2
Escrever a equação do movimento da membrana e suas derivadas (isso é padrão para movimento harmônico simples).
Escolho a representação
onde
é a posição vertical da membrana medida a partir do ponto de equilíbrio,
é a amplitude que queremos achar e
é a frequência angular dada. Explico cada termo:
-
(metros) é a amplitude da oscilação. -
(rad/s) é a frequência angular. -
(s) é o tempo.
A velocidade e a aceleração da membrana são as derivadas temporais:
Passo 3
Condição de desprendimento (quando o grão salta): usar equilíbrio de forças e a normal.
No instante em que o grão perde contato com a membrana, a força normal
que a membrana exerce sobre o grão se torna zero. Pelo 2.º lei de Newton, para o grão (massa
):
Assim,
Desprendimento ocorre quando
, portanto a condição é
Substituindo a expressão da aceleração da membrana,
ou seja
No instante de desprendimento a posição da membrana (e portanto do grão) é
Observação útil e importante: esse valor
é independente de
(desde que
, caso contrário o grão nunca se desprende).
Passo 4
Velocidade inicial do grão no instante do salto (essa velocidade determina até onde o grão sobe).
A velocidade do grão imediatamente antes de perder contato é a velocidade da membrana:
Para eliminar o
, usamos
. Da equação anterior temos
, então
Assim o quadrado da velocidade inicial é
Fazendo as contas:
Passo 5
Usar cinemática (energia cinética → altura máxima) para relacionar
,
e
.
Após o desprendimento, o grão sobe sob a ação da gravidade até atingir a altura máxima
(medida a partir do ponto de equilíbrio). A variação de altura adicional a partir do ponto de salto até o pico é
. Como o salto começou em
, a altura máxima total em relação ao equilíbrio é
Substituindo
e
, obtemos
Agora fazemos a álgebra para isolar uma expressão em função de
. Multiplicando por
:
O primeiro termo à direita é
; somando com o último termo
dá
. Assim obtemos
Isolando
,
Passo 6
Preparar a forma final conveniente (raízes quadradas e fatorizações) — a partir da expressão para
chegamos à forma que aparece nas alternativas.
A partir de
podemos fatorar convenientemente e simplificar para obter a expressão em termos de
e radicais. Fazendo as manipulações algébricas resulta
Resposta
(d)