Uma menina e um menino estāo sentados em uma canoa que flutua sobre um lago de águas calmas. A menina se encontra na extremidade direita e o menino, cuja massa é maior, na extremidade esquerda. Inicialmente a canoa está em repouso em relação às margens. Em um dado instante, os dois trocam de lugar. É correto afirmar que:
(a) o barco fica sempre parado
(b) todas as outras afirmativas são falsas
(c) o centro de massa do sistema se desloca para a esquerda
(d) o barco se move para a esquerda
(e) o centro de massa do sistema se desloca para a direita
(a) o barco fica sempre parado
(b) todas as outras afirmativas são falsas
(c) o centro de massa do sistema se desloca para a esquerda
(d) o barco se move para a esquerda
(e) o centro de massa do sistema se desloca para a direita
Passo 1
O enunciado diz: uma menina e um menino estão sentados nas extremidades de uma canoa parada em relação à margem. A menina está na extremidade direita e o menino, cuja massa é maior, na extremidade esquerda. Em certo instante, os dois trocam de lugar. Pergunta: qual das alternativas abaixo é correta?
(a) o barco fica sempre parado
(b) todas as outras afirmativas são falsas
(c) o centro de massa do sistema se desloca para a esquerda
(d) o barco se move para a esquerda
(e) o centro de massa do sistema se desloca para a direita
(b) todas as outras afirmativas são falsas
(c) o centro de massa do sistema se desloca para a esquerda
(d) o barco se move para a esquerda
(e) o centro de massa do sistema se desloca para a direita
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A menina está inicialmente na extremidade direita da canoa.
- O menino, com massa maior que a da menina, está inicialmente na extremidade esquerda.
- A canoa está inicialmente em repouso em relação às margens.
- Os dois trocam de lugar (cada um passa para a extremidade oposta).
- Não é dito que haja forças horizontais externas significativas (água calma, movimento interno entre pessoas e canoa).
Passo 2
Princípio físico que vamos usar (explicação didática): o centro de massa (CM) de um sistema isolado não se desloca se não houver força externa resultante na direção considerada. Aqui, verticalmente temos peso e empuxo (forças externas), mas ambas são praticamente verticais; se negligenciarmos forças horizontais externas (arrasto da água, aderência) o sistema total (menino + menina + canoa) tem força externa resultante horizontal nula, então a posição horizontal do CM em relação à margem permanece fixa durante todo o processo.
O que isto significa, em linguagem simples: quando as pessoas andam dentro da canoa, elas empurram a canoa e a canoa se move — mas essas são forças internas. O CM do conjunto (pessoas + canoa) não muda de posição horizontal se não houver empurrões externos na horizontal.
Passo 3
Modelagem e definições (tudo explicadinho):
- Denotemos por
a massa do menino (boy), por a massa da menina (girl), e por a massa da canoa. - Seja
o comprimento da canoa (distância entre extremidades). - Escolhemos como referência a posição horizontal da extremidade esquerda inicial da canoa, chamando-a de
. Então a extremidade direita inicial está em . - Tratamos a canoa como concentrada no seu centro, que fica em
. - Posições iniciais:
- menino em
, - canoa (centro) em
, - menina em
.
- menino em
Passo 4
Escrever a posição inicial do centro de massa do sistema (fórmula e explicação das variáveis):
Aqui cada termo
é a contribuição da massa
localizada em
; o somatório dividido pela massa total dá a posição do CM.
Substituindo as posições iniciais:
Passo 5
Posições finais depois da troca de lugar:
- A canoa pode ter deslocado horizontalmente em relação à margem; chamemos esse deslocamento da canoa de
. Assim a extremidade esquerda final é . - Após a troca, o menino fica na extremidade direita da canoa:
. - A menina fica na extremidade esquerda final:
. - O centro da canoa final é
.
Agora escrevemos a posição final do CM:
Passo 6
Usamos a conservação da posição do CM (na horizontal) porque não há força externa horizontal resultante:
Substituindo as expressões dos Passos 4 e 5 e simplificando passo a passo:
Multiplicando ambas as expressões pelo denominador
e cancelando os termos com
que aparecem dos dois lados obtemos:
Explicando cada passo: ao expandir a expressão final, surge um termo
mais constants com
; na inicial surge
mais constantes com
. Cancelando
de ambos os lados, sobra a equação acima.
Agora isolamos
:
Passo 7
Interpretação do resultado:
- O deslocamento
é proporcional a . Se (o menino é mais pesado, como diz o enunciado), então e portanto . -
significa que : a extremidade esquerda final está mais à esquerda do que inicialmente — ou seja, a canoa deslocou-se para a esquerda em relação à margem.
Conclusões físicas rápidas e amigáveis:
- O centro de massa do sistema não se deslocou horizontalmente (ficou na mesma posição), porque não houve força externa horizontal. Assim as alternativas que afirmam deslocamento do centro de massa para a esquerda ou direita são falsas.
- A canoa, porém, efetivamente se deslocou para a esquerda quando o menino (mais pesado) foi para a extremidade direita e a menina foi para a esquerda — é o que a fórmula mostrou.
- A alternativa (a) “o barco fica sempre parado” é falsa em geral (fica verdade somente se
). A alternativa (b) é falsa porque há uma alternativa correta. Portanto a alternativa correta é (d).
Passo 8
Exemplo numérico (para fixar e para você usar como “checagem mental” na prova):
Suponha ,
,
e
.
Então
Suponha
Então
Ou seja, a canoa deslocou-se
m para a esquerda. O CM ficou no mesmo lugar — você pode checar calculando
e
e verá que coincidem.
Resposta
(d)