Uma menina e um menino estāo sentados em uma canoa que flutua sobre um lago de águas calmas. A menina se encontra na extremidade direita e o menino, cuja massa é maior, na extremidade esquerda. Inicialmente a canoa está em repouso em relação às margens. Em um dado instante, os dois trocam de lugar. É correto afirmar que:
(a) o barco fica sempre parado x
(b) todas as outras afirmativas são falsas
(c) o centro de massa do sistema se desloca para a esquerda X
(d) o barco se move para a esquerda x
(e) o centro de massa do sistema se desloca para a direita x

Passo 1

O enunciado diz: uma menina e um menino estão sentados nas extremidades de uma canoa parada em relação à margem. A menina está na extremidade direita e o menino, cuja massa é maior, na extremidade esquerda. Em certo instante, os dois trocam de lugar. Pergunta: qual das alternativas abaixo é correta?
(a) o barco fica sempre parado \,x
(b) todas as outras afirmativas são falsas
(c) o centro de massa do sistema se desloca para a esquerda \,X
(d) o barco se move para a esquerda \,x
(e) o centro de massa do sistema se desloca para a direita \,x
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A menina está inicialmente na extremidade direita da canoa.
  • O menino, com massa maior que a da menina, está inicialmente na extremidade esquerda.
  • A canoa está inicialmente em repouso em relação às margens.
  • Os dois trocam de lugar (cada um passa para a extremidade oposta).
  • Não é dito que haja forças horizontais externas significativas (água calma, movimento interno entre pessoas e canoa).

Passo 2

Princípio físico que vamos usar (explicação didática): o centro de massa (CM) de um sistema isolado não se desloca se não houver força externa resultante na direção considerada. Aqui, verticalmente temos peso e empuxo (forças externas), mas ambas são praticamente verticais; se negligenciarmos forças horizontais externas (arrasto da água, aderência) o sistema total (menino + menina + canoa) tem força externa resultante horizontal nula, então a posição horizontal do CM em relação à margem permanece fixa durante todo o processo.
O que isto significa, em linguagem simples: quando as pessoas andam dentro da canoa, elas empurram a canoa e a canoa se move — mas essas são forças internas. O CM do conjunto (pessoas + canoa) não muda de posição horizontal se não houver empurrões externos na horizontal.

Passo 3

Modelagem e definições (tudo explicadinho):
  • Denotemos por m_B a massa do menino (boy), por m_G a massa da menina (girl), e por M a massa da canoa.
  • Seja L o comprimento da canoa (distância entre extremidades).
  • Escolhemos como referência a posição horizontal da extremidade esquerda inicial da canoa, chamando-a de x_L. Então a extremidade direita inicial está em x_L + L.
  • Tratamos a canoa como concentrada no seu centro, que fica em x_C = x_L + \tfrac{L}{2}.
  • Posições iniciais:
    • menino em x_B^{(i)} = x_L,
    • canoa (centro) em x_C^{(i)} = x_L + \tfrac{L}{2},
    • menina em x_G^{(i)} = x_L + L.

Passo 4

Escrever a posição inicial do centro de massa do sistema (fórmula e explicação das variáveis):
X_{\mathrm{CM}}^{(i)} = \frac{m_B x_B^{(i)} + M x_C^{(i)} + m_G x_G^{(i)}}{m_B + M + m_G}.
Aqui cada termo m_i x_i é a contribuição da massa m_i localizada em x_i; o somatório dividido pela massa total dá a posição do CM.
Substituindo as posições iniciais:
X_{\mathrm{CM}}^{(i)} = \frac{m_B x_L + M\bigl(x_L + \tfrac{L}{2}\bigr) + m_G\bigl(x_L + L\bigr)}{m_B + M + m_G}.

Passo 5

Posições finais depois da troca de lugar:
  • A canoa pode ter deslocado horizontalmente em relação à margem; chamemos esse deslocamento da canoa de s. Assim a extremidade esquerda final é x_L' = x_L + s.
  • Após a troca, o menino fica na extremidade direita da canoa: x_B^{(f)} = x_L' + L = x_L + s + L.
  • A menina fica na extremidade esquerda final: x_G^{(f)} = x_L' = x_L + s.
  • O centro da canoa final é x_C^{(f)} = x_L' + \tfrac{L}{2} = x_L + s + \tfrac{L}{2}.
Agora escrevemos a posição final do CM:
X_{\mathrm{CM}}^{(f)} = \frac{m_B\bigl(x_L + s + L\bigr) + M\bigl(x_L + s + \tfrac{L}{2}\bigr) + m_G\bigl(x_L + s\bigr)}{m_B + M + m_G}.

Passo 6

Usamos a conservação da posição do CM (na horizontal) porque não há força externa horizontal resultante:
X_{\mathrm{CM}}^{(f)} = X_{\mathrm{CM}}^{(i)}.
Substituindo as expressões dos Passos 4 e 5 e simplificando passo a passo:
Multiplicando ambas as expressões pelo denominador m_B + M + m_G e cancelando os termos com x_L que aparecem dos dois lados obtemos:
(m_B + M + m_G)s + m_B L = m_G L.
Explicando cada passo: ao expandir a expressão final, surge um termo (m_B+M+m_G)(x_L+s) mais constants com L; na inicial surge (m_B+M+m_G)x_L mais constantes com L. Cancelando (m_B+M+m_g)x_L de ambos os lados, sobra a equação acima.
Agora isolamos s:
s = \frac{m_G - m_B}{m_B + M + m_G}\;L.

Passo 7

Interpretação do resultado:
  • O deslocamento s é proporcional a m_G - m_B. Se m_B>m_G (o menino é mais pesado, como diz o enunciado), então m_G-m_B<0 e portanto s<0.
  • s<0 significa que x_L' = x_L + s < x_L: a extremidade esquerda final está mais à esquerda do que inicialmente — ou seja, a canoa deslocou-se para a esquerda em relação à margem.
Conclusões físicas rápidas e amigáveis:
  • O centro de massa do sistema não se deslocou horizontalmente (ficou na mesma posição), porque não houve força externa horizontal. Assim as alternativas que afirmam deslocamento do centro de massa para a esquerda ou direita são falsas.
  • A canoa, porém, efetivamente se deslocou para a esquerda quando o menino (mais pesado) foi para a extremidade direita e a menina foi para a esquerda — é o que a fórmula mostrou.
  • A alternativa (a) “o barco fica sempre parado” é falsa em geral (fica verdade somente se m_B=m_G). A alternativa (b) é falsa porque há uma alternativa correta. Portanto a alternativa correta é (d).

Passo 8

Exemplo numérico (para fixar e para você usar como “checagem mental” na prova):
Suponha m_B=60\\ \mathrm{kg}, m_G=40\\ \mathrm{kg}, M=100\\ \mathrm{kg} e L=4\\ \mathrm{m}.
Então
s = \frac{40-60}{60+100+40}\cdot 4 = \frac{-20}{200}\cdot 4 = -0{,}4\\ \mathrm{m}.
Ou seja, a canoa deslocou-se 0{,}4 m para a esquerda. O CM ficou no mesmo lugar — você pode checar calculando X_{\mathrm{CM}}^{(i)} e X_{\mathrm{CM}}^{(f)} e verá que coincidem.

Resposta

(d)

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