Uma menina e um menino estão sentados em uma canoa que flutua sobre um lago de águas calmas. A menina se encontra na extremidade direita e o menino, cuja massa é maior, na extremidade esquerda. Inicialmente a canoa está em repouso em relação às margens. Em um dado instante, os dois trocam de lugar. É correto afirmar que:
(a) o barco fica sempre parado
(b) todas as outras afirmativas são falsas
(c) o centro de massa do sistema se desloca para a direita

Passo 1

Resumo do que o enunciado dá e o que pede, de forma bem clara: \n
  • Dois corpos (uma menina e um menino) estão sobre uma canoa que flutua. \n
  • A menina está na extremidade direita; o menino, cuja massa é maior, está na extremidade esquerda. \n
  • Inicialmente a canoa está em repouso em relação às margens do lago. \n
  • Em um dado instante, eles trocam de lugar (a menina vai para a extremidade esquerda e o menino para a extremidade direita). \n
  • Pergunta: qual das alternativas é correta? \n
    (a) o barco fica sempre parado \n
    (b) todas as outras afirmativas são falsas \n
    (c) o centro de massa do sistema se desloca para a direita \n

Passo 2

Definindo o que vamos usar (conceitos e símbolos) de forma didática: \n
  • Vou chamar a massa da canoa de \,M, a massa do menino de \,m_B e a massa da menina de \,m_G. \n
  • Vou colocar um eixo horizontal x paralelo às margens do lago; posições são medidas nesse eixo em relação a um referencial fixo na margem. \n
  • O centro de massa (CM) do sistema “canoa + menino + menina” tem coordenada dada pela fórmula \n
X_{CM}=\frac{M x_c + m_B x_B + m_G x_G}{M + m_B + m_G},
onde \,x_c é a posição do centro da canoa, \,x_B a posição do menino e \,x_G a posição da menina. \n
  • Explicando a fórmula: cada massa pesa na média ponderada pela sua posição; o somatório das massas aparece no denominador para normalizar. Isso é a definição padrão de centro de massa em uma dimensão. \n

Passo 3

Princípio físico essencial (passo teórico que você precisa entender): conservação do momento linear horizontal e comportamento do centro de massa. \n
  • As forças externas horizontais sobre o sistema “canoa + crianças” são, no enunciado idealizado, nulas (a força da água sobre a canoa é vertical se a água é calma e não há atrito horizontal significativo): as forças externas que atuam são peso e empuxo, ambas verticais. \n
  • Quando a força externa horizontal resultante é zero, o momento linear total horizontal do sistema é conservado. Como o sistema está inicialmente em repouso, o momento total inicial é zero, logo o momento total permanece zero durante todo o processo. \n
  • A velocidade do centro de massa satisfaz \,\frac{d}{dt}X_{CM}=\frac{P_{tot}}{M+m_B+m_G}, onde P_{tot} é o momento total horizontal. Se P_{tot}=0 (condição que temos), então \frac{d}{dt}X_{CM}=0 e o centro de massa não se desloca em relação às margens. Em palavras simples: com nenhuma força externa horizontal, o CM do sistema permanece parado (ou se movia, continuaria em movimento retilíneo; aqui começou parado, então fica parado). \n
  • Conclusão física chave: o centro de massa do sistema permanece na mesma posição fixa em relação à margem do lago.

Passo 4

Aplicando a ideia com fórmulas para mostrar como a canoa se move (ilustrar porque o barco não fica parado, mesmo que o CM não se mova). Vou fazer uma conta explícita para você visualizar: \n
  • Suponha que, inicialmente, o centro geométrico da canoa está em x_c^{(i)}=0. Coloque a posição do menino inicialmente em x_B^{(i)}=-a e a da menina em x_G^{(i)}=+a, onde \,2a é a distância entre as extremidades (ou seja, cada um está a uma distância a do centro geométrico da canoa). Não precisamos do valor numérico de a, só da simetria. \n
  • A posição inicial do CM é, pela definição,
X_{CM}^{(i)}=\frac{M\cdot 0 + m_B(-a) + m_G(+a)}{M+m_B+m_G}=\frac{a(m_G-m_B)}{M+m_B+m_G}.
Repare que, como m_B>m_G, esse valor é negativo (o CM está à esquerda do centro da canoa). \n
  • Depois da troca de lugar, suponha que a canoa tenha deslocado seu centro geométrico para x_c^{(f)}. As posições finais serão x_B^{(f)}=x_c^{(f)}+a (menino na extremidade direita) e x_G^{(f)}=x_c^{(f)}-a (menina na extremidade esquerda). \n
  • A posição final do CM é
X_{CM}^{(f)}=\frac{M x_c^{(f)} + m_B(x_c^{(f)}+a) + m_G(x_c^{(f)}-a)}{M+m_B+m_G}.
Isso pode ser reorganizado como
X_{CM}^{(f)}=x_c^{(f)} + \frac{a(m_B-m_G)}{M+m_B+m_G}.

Passo 5

Agora igualamos X_{CM}^{(i)} e X_{CM}^{(f)} (porque o CM não se move) e resolvemos para o deslocamento x_c^{(f)} da canoa; isso mostra explicitamente que a canoa se desloca, e em que sentido. \n
  • Igualando:
\frac{a(m_G-m_B)}{M+m_B+m_G}=x_c^{(f)} + \frac{a(m_B-m_G)}{M+m_B+m_G}.
  • Note que \frac{a(m_G-m_B)}{T}=-\frac{a(m_B-m_G)}{T}, onde \,T=M+m_B+m_G. Assim
-\frac{a(m_B-m_G)}{T}=x_c^{(f)} + \frac{a(m_B-m_G)}{T}.
  • Isolando x_c^{(f)} vem
x_c^{(f)}=-\frac{2a(m_B-m_G)}{T}.
  • Interpretação: como m_B>m_G, o deslocamento x_c^{(f)} é negativo — ou seja, a canoa desloca-se para a esquerda durante a manobra. Isso mostra duas coisas importantes: (i) a canoa não fica parada (contradiz a alternativa (a)); (ii) o CM do sistema não se deslocou para a direita (nem para a esquerda: permaneceu onde estava), logo a alternativa (c) também é falsa. \n
  • Em palavras simples: para que o CM permaneça fixo, a canoa tem que deslocar-se (no sentido tal que compense a troca das crianças). No nosso cálculo, porque o menino é mais pesado, a canoa desloca-se para a esquerda.

Passo 6

Conclusão final e resposta lógica entre as opções: \n
  • (a) falso: o barco não fica sempre parado — ele se desloca durante a troca de lugar (como vimos, desloca-se para a esquerda no exemplo porque o menino é mais pesado). \n
  • (c) falso: o centro de massa do sistema não se desloca para a direita; o centro de massa do sistema permanece fixo em relação à margem (não se desloca), devido à ausência de força externa horizontal. \n
  • Logo a alternativa correta é (b): todas as outras afirmativas são falsas. \n

Resposta

(b)

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