Uma menina e um menino estão sentados em uma canoa que flutua sobre um lago de águas calmas. A menina se encontra na extremidade direita e o menino, cuja massa é maior, na extremidade esquerda. Inicialmente a canoa está em repouso em relação às margens. Em um dado instante, os dois trocam de lugar. É correto afirmar que:
(a) o barco fica sempre parado
(b) todas as outras afirmativas são falsas
(c) o centro de massa do sistema se desloca para a direita
(a) o barco fica sempre parado
(b) todas as outras afirmativas são falsas
(c) o centro de massa do sistema se desloca para a direita
Passo 1
Resumo do que o enunciado dá e o que pede, de forma bem clara: \n
- Dois corpos (uma menina e um menino) estão sobre uma canoa que flutua. \n
- A menina está na extremidade direita; o menino, cuja massa é maior, está na extremidade esquerda. \n
- Inicialmente a canoa está em repouso em relação às margens do lago. \n
- Em um dado instante, eles trocam de lugar (a menina vai para a extremidade esquerda e o menino para a extremidade direita). \n
- Pergunta: qual das alternativas é correta? \n
(a) o barco fica sempre parado \n
(b) todas as outras afirmativas são falsas \n
(c) o centro de massa do sistema se desloca para a direita \n
Passo 2
Definindo o que vamos usar (conceitos e símbolos) de forma didática: \n
- Vou chamar a massa da canoa de
, a massa do menino de e a massa da menina de . \n - Vou colocar um eixo horizontal
paralelo às margens do lago; posições são medidas nesse eixo em relação a um referencial fixo na margem. \n - O centro de massa (CM) do sistema “canoa + menino + menina” tem coordenada dada pela fórmula \n
onde
é a posição do centro da canoa,
a posição do menino e
a posição da menina. \n
- Explicando a fórmula: cada massa pesa na média ponderada pela sua posição; o somatório das massas aparece no denominador para normalizar. Isso é a definição padrão de centro de massa em uma dimensão. \n
Passo 3
Princípio físico essencial (passo teórico que você precisa entender): conservação do momento linear horizontal e comportamento do centro de massa. \n
- As forças externas horizontais sobre o sistema “canoa + crianças” são, no enunciado idealizado, nulas (a força da água sobre a canoa é vertical se a água é calma e não há atrito horizontal significativo): as forças externas que atuam são peso e empuxo, ambas verticais. \n
- Quando a força externa horizontal resultante é zero, o momento linear total horizontal do sistema é conservado. Como o sistema está inicialmente em repouso, o momento total inicial é zero, logo o momento total permanece zero durante todo o processo. \n
- A velocidade do centro de massa satisfaz
, onde é o momento total horizontal. Se (condição que temos), então e o centro de massa não se desloca em relação às margens. Em palavras simples: com nenhuma força externa horizontal, o CM do sistema permanece parado (ou se movia, continuaria em movimento retilíneo; aqui começou parado, então fica parado). \n - Conclusão física chave: o centro de massa do sistema permanece na mesma posição fixa em relação à margem do lago.
Passo 4
Aplicando a ideia com fórmulas para mostrar como a canoa se move (ilustrar porque o barco não fica parado, mesmo que o CM não se mova). Vou fazer uma conta explícita para você visualizar: \n
- Suponha que, inicialmente, o centro geométrico da canoa está em
. Coloque a posição do menino inicialmente em e a da menina em , onde é a distância entre as extremidades (ou seja, cada um está a uma distância do centro geométrico da canoa). Não precisamos do valor numérico de , só da simetria. \n - A posição inicial do CM é, pela definição,
Repare que, como
, esse valor é negativo (o CM está à esquerda do centro da canoa). \n
- Depois da troca de lugar, suponha que a canoa tenha deslocado seu centro geométrico para
. As posições finais serão (menino na extremidade direita) e (menina na extremidade esquerda). \n - A posição final do CM é
Isso pode ser reorganizado como
Passo 5
Agora igualamos
e
(porque o CM não se move) e resolvemos para o deslocamento
da canoa; isso mostra explicitamente que a canoa se desloca, e em que sentido. \n
- Igualando:
- Note que
, onde . Assim
- Isolando
vem
- Interpretação: como
, o deslocamento é negativo — ou seja, a canoa desloca-se para a esquerda durante a manobra. Isso mostra duas coisas importantes: (i) a canoa não fica parada (contradiz a alternativa (a)); (ii) o CM do sistema não se deslocou para a direita (nem para a esquerda: permaneceu onde estava), logo a alternativa (c) também é falsa. \n - Em palavras simples: para que o CM permaneça fixo, a canoa tem que deslocar-se (no sentido tal que compense a troca das crianças). No nosso cálculo, porque o menino é mais pesado, a canoa desloca-se para a esquerda.
Passo 6
Conclusão final e resposta lógica entre as opções: \n
- (a) falso: o barco não fica sempre parado — ele se desloca durante a troca de lugar (como vimos, desloca-se para a esquerda no exemplo porque o menino é mais pesado). \n
- (c) falso: o centro de massa do sistema não se desloca para a direita; o centro de massa do sistema permanece fixo em relação à margem (não se desloca), devido à ausência de força externa horizontal. \n
- Logo a alternativa correta é (b): todas as outras afirmativas são falsas. \n
Resposta
(b)