Um menino gira uma pedra em movimento circular uniforme com um raio de
, mantendo a pedra a uma altura de
acima do solo. Quando a corda que sustenta a pedra se rompe, a pedra é arremessada com uma velocidade inicial de
um ângulo de
acima da horizontal. A partir do momento em que a corda se parte, a pedra percorre uma distância horizontal de
até atingir o solo. (a) Determine a altura máxima que a pedra atinge após ser arremessada; (b) Calcule a velocidade da pedra ao longo da trajetória circular antes da ruptura da corda; © Determine o tempo total de voo da pedra até atingir o solo; (d) Determine a aceleração centrípeta da pedra enquanto ela estava em movimento circular uniforme, antes da ruptura da corda.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício que envolve movimento circular uniforme e lançamento de projéteis. A gente vai precisar usar conceitos de física como velocidade, aceleração centrípeta, movimento parabólico e algumas fórmulas matemáticas básicas. O problema fala sobre uma pedra sendo girada em um círculo até que a corda se rompe, fazendo a pedra seguir uma trajetória curva até cair no chão. Vamos resolver cada parte passo a passo!
Passo 2
Parte (a): Determinar a altura máxima que a pedra atinge após ser arremessada.
Primeiro, vamos entender o que significa altura máxima. Quando a pedra é lançada, ela sobe até certo ponto antes de começar a descer devido à gravidade. Para encontrar essa altura, precisamos analisar o movimento vertical da pedra.
A velocidade inicial vertical (
) pode ser encontrada usando o ângulo de lançamento:
Onde:
Calculando:
Agora, vamos usar a fórmula para a altura máxima (
):
Onde:
-
(altura inicial) -
(aceleração da gravidade)
Substituindo os valores:
Passo 3
Parte (b): Calcular a velocidade da pedra ao longo da trajetória circular antes da ruptura da corda.
Aqui, queremos encontrar a velocidade da pedra quando ela ainda estava se movendo em círculo, antes da corda se romper. Para isso, usamos a relação entre a força centrípeta e a velocidade.
A fórmula da aceleração centrípeta (
) é:
Onde:
-
é a velocidade -
(raio do círculo)
A força centrípeta é fornecida pela tensão na corda, mas como não temos essa força, vamos relacionar com o movimento circular uniforme. Como não há aceleração além da centrípeta, podemos rearranjar a fórmula para encontrar
:
Sem a aceleração, mas sabendo que a pedra estava em movimento circular uniforme, podemos supor que a velocidade era constante até o momento da ruptura. Porém, como não temos mais dados, provavelmente precisaremos usar outras partes do problema para encontrar essa velocidade.
A melhor abordagem aqui é relacionar com a trajetória após a ruptura. Sabemos a velocidade inicial do lançamento (
) que é a mesma velocidade da pedra no momento da ruptura da corda.
Então, a velocidade da pedra ao longo da trajetória circular antes da ruptura da corda é:
Passo 4
Parte ©: Determinar o tempo total de voo da pedra até atingir o solo.
Para encontrar o tempo total de voo, vamos analisar o movimento vertical da pedra. Sabemos que a pedra foi lançada de uma altura inicial e precisamos calcular quanto tempo leva para ela chegar ao solo.
Usamos a equação do movimento vertical:
Onde:
-
(no solo) -
-
Substituindo:
Organizando a equação:
Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula:
Calculando o discriminante:
Então:
Passo 5
Parte (d): Determinar a aceleração centrípeta da pedra enquanto ela estava em movimento circular uniforme, antes da ruptura da corda.
Usamos a fórmula da aceleração centrípeta:
Onde:
Substituindo:
Resposta
(a) A altura máxima que a pedra atinge é de aproximadamente 1,32 metros.
(b) A velocidade da pedra antes da ruptura da corda era de 5,0 m/s.
© O tempo total de voo da pedra até atingir o solo é de aproximadamente 0,774 segundos.
(d) A aceleração centrípeta da pedra durante o movimento circular uniforme era de 12,5 m/s².