Um menino gira uma pedra em movimento circular uniforme com um raio de 2,0 m, mantendo a pedra a uma altura de 1,0 m acima do solo. Quando a corda que sustenta a pedra se rompe, a pedra é arremessada com uma velocidade inicial de v0=5,0 m / s em um ângulo de 30^circ acima da horizontal. A partir do momento em que a corda se parte, a pedra percorre uma distância horizontal de 8,0 m até atingir o solo. (a) Determine a altura máxima que a pedra atinge após ser arremessada; (b) Calcule a velocidade da pedra ao longo da trajetória circular antes da ruptura da corda; © Determine o tempo total de voo da pedra até atingir o solo; (d) Determine a aceleração centrípeta da pedra enquanto ela estava em movimento circular uniforme, antes da ruptura da corda.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício que envolve movimento circular uniforme e lançamento de projéteis. A gente vai precisar usar conceitos de física como velocidade, aceleração centrípeta, movimento parabólico e algumas fórmulas matemáticas básicas. O problema fala sobre uma pedra sendo girada em um círculo até que a corda se rompe, fazendo a pedra seguir uma trajetória curva até cair no chão. Vamos resolver cada parte passo a passo!

Passo 2

Parte (a): Determinar a altura máxima que a pedra atinge após ser arremessada.
Primeiro, vamos entender o que significa altura máxima. Quando a pedra é lançada, ela sobe até certo ponto antes de começar a descer devido à gravidade. Para encontrar essa altura, precisamos analisar o movimento vertical da pedra.
A velocidade inicial vertical ( v0y) pode ser encontrada usando o ângulo de lançamento:
v0y = v0 cdot sin(theta)
Onde:
  • v0 = 5,0 , m/s
  • theta = 30^circ
Calculando:
v0y = 5,0 cdot sin(30^circ) = 5,0 cdot 0,5 = 2,5 , m/s
Agora, vamos usar a fórmula para a altura máxima ( h):
h = h0 + v0y^22g
Onde:
  • h0 = 1,0 , m (altura inicial)
  • g = 9,8 , m/s^2 (aceleração da gravidade)
Substituindo os valores:
h = 1,0 + (2,5)^22 cdot 9,8 = 1,0 + 6,2519,6 approx 1,0 + 0,32 = 1,32 , m

Passo 3

Parte (b): Calcular a velocidade da pedra ao longo da trajetória circular antes da ruptura da corda.
Aqui, queremos encontrar a velocidade da pedra quando ela ainda estava se movendo em círculo, antes da corda se romper. Para isso, usamos a relação entre a força centrípeta e a velocidade.
A fórmula da aceleração centrípeta ( ac) é:
ac = v^2r
Onde:
  • v é a velocidade
  • r = 2,0 , m (raio do círculo)
A força centrípeta é fornecida pela tensão na corda, mas como não temos essa força, vamos relacionar com o movimento circular uniforme. Como não há aceleração além da centrípeta, podemos rearranjar a fórmula para encontrar v:
v = raizac cdot r
Sem a aceleração, mas sabendo que a pedra estava em movimento circular uniforme, podemos supor que a velocidade era constante até o momento da ruptura. Porém, como não temos mais dados, provavelmente precisaremos usar outras partes do problema para encontrar essa velocidade.
A melhor abordagem aqui é relacionar com a trajetória após a ruptura. Sabemos a velocidade inicial do lançamento ( v0 = 5,0 , m/s) que é a mesma velocidade da pedra no momento da ruptura da corda.
Então, a velocidade da pedra ao longo da trajetória circular antes da ruptura da corda é:
v = 5,0 , m/s

Passo 4

Parte ©: Determinar o tempo total de voo da pedra até atingir o solo.
Para encontrar o tempo total de voo, vamos analisar o movimento vertical da pedra. Sabemos que a pedra foi lançada de uma altura inicial e precisamos calcular quanto tempo leva para ela chegar ao solo.
Usamos a equação do movimento vertical:
y = y0 + v0y t - 12 g t^2
Onde:
  • y = 0 , m (no solo)
  • y0 = 1,0 , m
  • v0y = 2,5 , m/s
Substituindo:
0 = 1,0 + 2,5 t - 4,9 t^2
Organizando a equação:
4,9 t^2 - 2,5 t - 1,0 = 0
Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula:
t = 2,5 pm raiz(2,5)^2 + 4 cdot 4,9 cdot 1,02 cdot 4,9
Calculando o discriminante:
raiz6,25 + 19,6 = raiz25,85 approx 5,084
Então:
t = 2,5 + 5,0849,8 approx 7,5849,8 approx 0,774 , s

Passo 5

Parte (d): Determinar a aceleração centrípeta da pedra enquanto ela estava em movimento circular uniforme, antes da ruptura da corda.
Usamos a fórmula da aceleração centrípeta:
ac = v^2r
Onde:
  • v = 5,0 , m/s
  • r = 2,0 , m
Substituindo:
ac = (5,0)^22,0 = 252 = 12,5 , m/s^2

Resposta

(a) A altura máxima que a pedra atinge é de aproximadamente 1,32 metros.
(b) A velocidade da pedra antes da ruptura da corda era de 5,0 m/s.
© O tempo total de voo da pedra até atingir o solo é de aproximadamente 0,774 segundos.
(d) A aceleração centrípeta da pedra durante o movimento circular uniforme era de 12,5 m/s².

Exercícios relacionados