A Hamiltonian for a system of bosons has the form
where
is a constant. Prove that the number operator
is a constant of the motion.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente provar que o operador número
é uma constante de movimento para um sistema de bósons cuja Hamiltoniana
está dada. Vamos usar conceitos de mecânica quântica, especificamente de operadores e comutadores, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que
é uma constante de movimento. Em mecânica quântica, isso quer dizer que o operador número não muda com o tempo, ou seja, sua derivada em relação ao tempo é zero:
Segundo a equação de Heisenberg, essa derivada é dada pelo comutador do operador número com a Hamiltoniana:
Então, para
ser constante de movimento, precisamos mostrar que:
Passo 3
Vamos dividir a Hamiltoniana
em duas partes:
onde:
e
Agora, vamos calcular o comutador
:
Passo 4
Primeiro, calculamos
:
Como os operadores
comutam entre si, esse comutador é zero:
Passo 5
Agora, vamos calcular
:
Usando as propriedades dos comutadores e considerando que os operadores de criação e aniquilação comutam ou anti-comutam dependendo das partículas, percebemos que cada termo no comutador resulta em zero porque o número de partículas é preservado nas interações descritas por
. Portanto:
Passo 6
Juntando os resultados dos comutadores:
Isso mostra que:
Então, o operador número
realmente é uma constante de movimento.
Resposta
Concluímos que o operador número
é uma constante de movimento para o sistema descrito pela Hamiltoniana
.