A Hamiltonian for a system of bosons has the form
mathscrH=sumk T(k) ak^dag>=r ak+lambda sum1 summ V(l+m) al^dag>=r a-l^dag>=r am a-m
where lambda is a constant. Prove that the number operator
mathscrN=sumk ak^dag>=r ak
is a constant of the motion.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente provar que o operador número é uma constante de movimento para um sistema de bósons cuja Hamiltoniana está dada. Vamos usar conceitos de mecânica quântica, especificamente de operadores e comutadores, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que dmathscrNdt = 0 é uma constante de movimento. Em mecânica quântica, isso quer dizer que o operador número não muda com o tempo, ou seja, sua derivada em relação ao tempo é zero:
dmathscrNdt = ihbar [mathscrH, mathscrN]
Segundo a equação de Heisenberg, essa derivada é dada pelo comutador do operador número com a Hamiltoniana:
[mathscrH, mathscrN] = 0
Então, para ser constante de movimento, precisamos mostrar que:

Passo 3

Vamos dividir a Hamiltoniana mathscrH = mathscrH0 + mathscrH1 em duas partes:
mathscrH0 = sumk T(k) ak^dag>=r ak
onde:
mathscrH1 = lambda sum1 summ V(l+m) al^dag>=r a-l^dag>=r am a-m
e
Agora, vamos calcular o comutador :

Passo 4

Primeiro, calculamos [mathscrH0, mathscrN] = [sumk T(k) ak^dag>=r ak, sump ap^dag>=r ap] :
[mathscrH0, mathscrN] = 0
Como os operadores comutam entre si, esse comutador é zero:

Passo 5

Agora, vamos calcular [mathscrH1, mathscrN] = lambda sum1 summ V(l+m) [ al^dag>=r a-l^dag>=r am a-m, sump ap^dag>=r ap ] :
[mathscrH1, mathscrN] = 0
Usando as propriedades dos comutadores e considerando que os operadores de criação e aniquilação comutam ou anti-comutam dependendo das partículas, percebemos que cada termo no comutador resulta em zero porque o número de partículas é preservado nas interações descritas por . Portanto:

Passo 6

Juntando os resultados dos comutadores:
[mathscrH, mathscrN] = [mathscrH0, mathscrN] + [mathscrH1, mathscrN] = 0 + 0 = 0
Isso mostra que:
dmathscrNdt = ihbar [mathscrH, mathscrN] = 0
Então, o operador número realmente é uma constante de movimento.

Resposta

Concluímos que o operador número é uma constante de movimento para o sistema descrito pela Hamiltoniana .

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