Qual é o menor número inteiro m para o qual a função real de variável real dada por f(x)=4 x^{2}+3 x+(m+ 2) não admite raízes reais?

Passo 1

O enunciado pede: "Qual é o menor número inteiro m para o qual a função real de variável real
f(x)=4x^{2}+3x+(m+2)
não admite raízes reais?"
Informações dadas: a função é um polinômio quadrático em x com parâmetro m. A pergunta é encontrar o menor valor inteiro de m tal que a equação f(x)=0 não tenha soluções reais.

Passo 2

Conceito importante (aquela aula rápida e prática): uma equação quadrática ax^{2}+bx+c=0 tem sua natureza de raízes determinada pelo discriminante \Delta, definido por
\Delta = b^{2}-4ac.
Se \Delta>0 há duas raízes reais distintas; se \Delta=0 há uma raiz real dupla; se \Delta<0 não há raízes reais. Para a função não admitir raízes reais precisamos de \Delta<0.

Passo 3

Identifico os coeficientes da nossa parábola comparando com ax^{2}+bx+c:
a=4,\qquad b=3,\qquad c=m+2.

Passo 4

Calculo o discriminante em termos de m:
\Delta = b^{2}-4ac = 3^{2}-4\cdot 4\cdot (m+2).
Agora simplifico isso:
\Delta = 9 - 16(m+2).

Passo 5

Exijo a condição de não existência de raízes reais: \Delta<0. Substituindo:
9 - 16(m+2) < 0.
Desenvolvo a expressão:
9 - 16m - 32 < 0
-16m - 23 < 0.

Passo 6

Resolvo a desigualdade para m. Somo 23 em ambos os lados:
-16m < 23.
Agora divido por -16. Lembre-se: dividir por número negativo inverte o sinal da desigualdade:
m > -\tfrac{23}{16}.

Passo 7

Interpreto o resultado para m inteiro. Temos m > -\tfrac{23}{16}. Observe que
-\tfrac{23}{16} = -1{,}4375.
Os inteiros maiores que -1{,}4375 são -1,0,1,\dots. O menor inteiro que satisfaz a desigualdade é, portanto, m=-1.

Passo 8

Faço checagens rápidas para ganhar confiança: para m=-1 temos c=m+2=1 e
\Delta = 9 - 16\cdot 1 = -7 < 0,
logo realmente não há raízes reais. Para m=-2 temos c=0 e
\Delta = 9 - 16\cdot 0 = 9 > 0,
logo nesse caso há raízes reais, mostrando que m=-1 é realmente o menor inteiro que funciona.

Resposta

-1

Exercícios relacionados