Qual é o menor número inteiro
para o qual a função real de variável real dada por
2) não admite raízes reais?
Passo 1
O enunciado pede: "Qual é o menor número inteiro
para o qual a função real de variável real
não admite raízes reais?"
Informações dadas: a função é um polinômio quadrático em com parâmetro
. A pergunta é encontrar o menor valor inteiro de
tal que a equação
não tenha soluções reais.
Informações dadas: a função é um polinômio quadrático em
Passo 2
Conceito importante (aquela aula rápida e prática): uma equação quadrática
tem sua natureza de raízes determinada pelo discriminante
, definido por
Se
há duas raízes reais distintas; se
há uma raiz real dupla; se
não há raízes reais. Para a função não admitir raízes reais precisamos de
.
Passo 3
Identifico os coeficientes da nossa parábola comparando com
:
Passo 4
Calculo o discriminante em termos de
:
Agora simplifico isso:
Passo 5
Exijo a condição de não existência de raízes reais:
. Substituindo:
Desenvolvo a expressão:
Passo 6
Resolvo a desigualdade para
. Somo
em ambos os lados:
Agora divido por
. Lembre-se: dividir por número negativo inverte o sinal da desigualdade:
Passo 7
Interpreto o resultado para
inteiro. Temos
. Observe que
Os inteiros maiores que
são
. O menor inteiro que satisfaz a desigualdade é, portanto,
.
Passo 8
Faço checagens rápidas para ganhar confiança: para
temos
e
logo realmente não há raízes reais. Para
temos
e
logo nesse caso há raízes reais, mostrando que
é realmente o menor inteiro que funciona.