A função
possui duas raízes reais iguais. Nestas condições, qual o valor de
?
Passo 1
O enunciado dá a função quadrática
e afirma que ela “possui duas raízes reais iguais”.
O que se pede: encontrar o(s) valor(es) de que tornam isso verdade.
Informações importantes extraídas do enunciado: (coeficientes da forma padrão
) e a condição “duas raízes reais iguais” será usada como condição para determinar
.
O que se pede: encontrar o(s) valor(es) de
Informações importantes extraídas do enunciado:
Passo 2
Explicação do conceito que vamos usar (bem devagarzinho): uma equação quadrática
tem o discriminante definido por
O significado de
é:
- se
há duas raízes reais distintas; - se
as duas raízes são reais e iguais (raízes duplas); - se
as raízes são complexas (não reais).
Aqui queremos “duas raízes reais iguais”, portanto precisamos da condição
Importante: isso só faz sentido para uma quadrática verdadeira, isto é, devemos ter
(ou seja,
). Vou lembrar de checar isso depois.
Passo 3
Agora substituímos os coeficientes
na expressão do discriminante e impomos
.
Calcule
:
Desenvolvendo
, temos
Continuando as contas passo a passo:
Impondo
:
Isolando
:
Tomando a raiz quadrada (lembrando as duas soluções, positiva e negativa):
Passo 4
Checagens e observações finais (para não cair em pegadinhas):
- Precisamos garantir que a função realmente seja quadrática, ou seja,
. Para as soluções obtidas temos aproximadamente , claramente diferentes de . Logo e as soluções são válidas. - Opcionalmente, a raiz dupla da equação, quando
, seria dada por , ou seja um número real bem definido para cada valor de acima — isso confirma que as raízes são reais e iguais.