A função f(x)=(p-1) x^{2}+3 x+(p+1) possui duas raízes reais iguais. Nestas condições, qual o valor de p ?

Passo 1

O enunciado dá a função quadrática \,f(x)=(p-1)x^{2}+3x+(p+1)\, e afirma que ela “possui duas raízes reais iguais”.
O que se pede: encontrar o(s) valor(es) de p que tornam isso verdade.
Informações importantes extraídas do enunciado: \,a=p-1\,,\;b=3\,,\;c=p+1\, (coeficientes da forma padrão \,ax^{2}+bx+c\,) e a condição “duas raízes reais iguais” será usada como condição para determinar p.

Passo 2

Explicação do conceito que vamos usar (bem devagarzinho): uma equação quadrática \,ax^{2}+bx+c=0\, tem o discriminante definido por
\Delta = b^{2}-4ac.
O significado de \Delta é:
  • se \,\Delta>0\, há duas raízes reais distintas;
  • se \,\Delta=0\, as duas raízes são reais e iguais (raízes duplas);
  • se \,\Delta<0\, as raízes são complexas (não reais).
Aqui queremos “duas raízes reais iguais”, portanto precisamos da condição
\Delta = 0.
Importante: isso só faz sentido para uma quadrática verdadeira, isto é, devemos ter a\neq 0 (ou seja, p-1\neq 0). Vou lembrar de checar isso depois.

Passo 3

Agora substituímos os coeficientes \,a=p-1\,,\;b=3\,,\;c=p+1\, na expressão do discriminante e impomos \,\Delta=0\,.
Calcule \Delta:
\Delta = 3^{2}-4(p-1)(p+1).
Desenvolvendo (p-1)(p+1)=p^{2}-1, temos
\Delta = 9 - 4(p^{2}-1).
Continuando as contas passo a passo:
\Delta = 9 - 4p^{2} + 4 = 13 - 4p^{2}.
Impondo \Delta=0:
13 - 4p^{2} = 0.
Isolando p^{2}:
4p^{2} = 13 \quad\Rightarrow\quad p^{2}=\frac{13}{4}.
Tomando a raiz quadrada (lembrando as duas soluções, positiva e negativa):
p = \pm \frac{\sqrt{13}}{2}.

Passo 4

Checagens e observações finais (para não cair em pegadinhas):
  • Precisamos garantir que a função realmente seja quadrática, ou seja, a=p-1\neq 0. Para as soluções obtidas \,p=\pm\frac{\sqrt{13}}{2}\, temos aproximadamente p\approx\pm 1{,}80, claramente diferentes de 1. Logo a\neq 0 e as soluções são válidas.
  • Opcionalmente, a raiz dupla da equação, quando \Delta=0, seria dada por \,x_{0}=-\dfrac{b}{2a}\,, ou seja um número real bem definido para cada valor de p acima — isso confirma que as raízes são reais e iguais.

Resposta

\displaystyle p=\frac{\sqrt{13}}{2}
\displaystyle p=-\frac{\sqrt{13}}{2}

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