Determinar as condições sobre k na função f(x)=3 x^{2}-2 x+(k-1) a fim de que f não admita raízes reais.

Passo 1

O enunciado pede: determinar as condições sobre k para que a função f(x)=3x^{2}-2x+(k-1) não admita raízes reais.\n
Informações dadas: \;f(x)=3x^{2}-2x+(k-1).\n
Dados úteis extraídos do enunciado: os coeficientes da função quadrática são \;a=3, \;b=-2 e \;c=k-1.\n
Objetivo claro: encontrar todos os valores de k (valores reais) tais que a equação f(x)=0 não tenha solução real.

Passo 2

Verificação básica: como \;a=3\neq0, a função é realmente um polinômio do segundo grau (uma quadrática).\n
Isso significa que a natureza das raízes da equação \;3x^{2}-2x+(k-1)=0 é determinada pelo discriminante (que vamos definir e usar no próximo passo).

Passo 3

Explicando o discriminante (a “ferramenta” que usamos): para uma equação quadrática geral
ax^{2}+bx+c=0
definimos o discriminante por
\Delta = b^{2}-4ac.
O papel do discriminante:
  • Se \Delta>0, a equação tem duas raízes reais e distintas.
  • Se \Delta=0, a equação tem uma raiz real dupla (duas raízes iguais, real).
  • Se \Delta<0, a equação não tem raízes reais (as raízes são complexas conjugadas).\n
    Por que isso acontece (intuindo sem jargão): a fórmula das raízes é
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a};
se \Delta é negativo, \sqrt{\Delta} é uma raiz de número negativo e não existe como número real, então não há solução real.\n
Exemplo rápido para fixar: a equação x^{2}+1=0 tem a=1,b=0,c=1 e \Delta=0^{2}-4\cdot1\cdot1=-4<0, por isso não tem raízes reais.

Passo 4

Aplicando ao nosso caso: os coeficientes são \;a=3, \;b=-2, \;c=k-1. Calculemos o discriminante:
\Delta = b^{2}-4ac = (-2)^{2}-4\cdot 3\cdot (k-1).
Agora simplificamos passo a passo:
(-2)^{2}=4,
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\Delta = 4 - 12(k-1).
Expandindo o produto:
\Delta = 4 - 12k + 12.
Somando os termos constantes:
\Delta = 16 - 12k.

Passo 5

Queremos que não haja raízes reais, portanto exigimos \Delta<0. Substituindo a expressão que achamos:
16 - 12k < 0.
Resolvendo a desigualdade passo a passo:
16 - 12k < 0 \implies -12k < -16.
Agora dividimos ambos os lados por -12. Lembre-se: ao dividir por um número negativo, a desigualdade inverte de sentido. Então
k > \frac{-16}{-12} = \frac{16}{12}.
Simplificando a fração \frac{16}{12} dividindo numerador e denominador por 4:
\frac{16}{12}=\frac{4}{3}.
Portanto a condição final é
k > \frac{4}{3}.
Observação importante: se k=\frac{4}{3} então \Delta=0 e há uma raiz real dupla — isso é excluído pelo enunciado que pede “não admita raízes reais”. Logo a desigualdade é estrita, como obtivemos.

Passo 6

Conclusão e interpretação final (curto incentivo): para qualquer k maior que \frac{4}{3} a expressão dentro da raiz da fórmula quadrática fica negativa, então a equação não tem soluções reais. Você já está quase lá — com esse procedimento (identificar a,b,c, calcular \Delta e resolver \Delta<0) você resolve qualquer problema do mesmo tipo na prova. Vai dar certo!

Resposta

k>\dfrac{4}{3}

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