Determinar as condições sobre k na função
a fim de que
não admita raízes reais.
Passo 1
O enunciado pede: determinar as condições sobre
para que a função
não admita raízes reais.\n
Informações dadas: .\n
Dados úteis extraídos do enunciado: os coeficientes da função quadrática são ,
e
.\n
Objetivo claro: encontrar todos os valores de (valores reais) tais que a equação
não tenha solução real.
Informações dadas:
Dados úteis extraídos do enunciado: os coeficientes da função quadrática são
Objetivo claro: encontrar todos os valores de
Passo 2
Verificação básica: como
, a função é realmente um polinômio do segundo grau (uma quadrática).\n
Isso significa que a natureza das raízes da equação é determinada pelo discriminante (que vamos definir e usar no próximo passo).
Isso significa que a natureza das raízes da equação
Passo 3
Explicando o discriminante (a “ferramenta” que usamos): para uma equação quadrática geral
definimos o discriminante por
O papel do discriminante:
- Se
, a equação tem duas raízes reais e distintas. - Se
, a equação tem uma raiz real dupla (duas raízes iguais, real). - Se
, a equação não tem raízes reais (as raízes são complexas conjugadas).\n
Por que isso acontece (intuindo sem jargão): a fórmula das raízes é
se
é negativo,
é uma raiz de número negativo e não existe como número real, então não há solução real.\n
Exemplo rápido para fixar: a equação tem
e
, por isso não tem raízes reais.
Exemplo rápido para fixar: a equação
Passo 4
Aplicando ao nosso caso: os coeficientes são
,
,
. Calculemos o discriminante:
Agora simplificamos passo a passo:
logo
Expandindo o produto:
Somando os termos constantes:
Passo 5
Queremos que não haja raízes reais, portanto exigimos
. Substituindo a expressão que achamos:
Resolvendo a desigualdade passo a passo:
Agora dividimos ambos os lados por
. Lembre-se: ao dividir por um número negativo, a desigualdade inverte de sentido. Então
Simplificando a fração
dividindo numerador e denominador por
:
Portanto a condição final é
Observação importante: se
então
e há uma raiz real dupla — isso é excluído pelo enunciado que pede “não admita raízes reais”. Logo a desigualdade é estrita, como obtivemos.
Passo 6
Conclusão e interpretação final (curto incentivo): para qualquer
maior que
a expressão dentro da raiz da fórmula quadrática fica negativa, então a equação não tem soluções reais. Você já está quase lá — com esse procedimento (identificar
, calcular
e resolver
) você resolve qualquer problema do mesmo tipo na prova. Vai dar certo!