A menos de ordenamento dos blocos, determine todas as possíveis formas canônicas de Jordan para uma matriz complexa cujo polinômio mínimo é m(t)=(t-3)^2(t-5)^2, a multiplicidade algébrica do autovalor 3 é 5 e ordem de A é 8

Passo 1

O enunciado pede as formas canônicas de Jordan de uma matriz Ain M8(C) tais que
  • seu polinômio mínimo é
m(t)=(t-3)^2(t-5)^2,
o que implica que, tanto para o autovalor 3 quanto para o autovalor 5, o maior tamanho de bloco de Jordan é 2;
  • a multiplicidade algébrica de 3 é 5, logo no polinômio característico aparece (t-3)^5;
  • a ordem de A é 8, logo a multiplicidade algébrica de 5 é 8-5=3, aparecendo (t-5)^3.
Precisamos repartir essas multiplicidades em blocos de tamanho 1 ou 2, com pelo menos um bloco de tamanho 2 para cada autovalor (para garantir o expoente 2 no mínimo).

Passo 2

Particionando a soma 5 (aut. valor 3) em blocos de tamanho <=2 e com pelo menos um bloco de tamanho 2:
  • opção A: 5 = 2 + 2 + 1, ou seja blocos J2(3),J2(3),J1(3);
  • opção B: 5 = 2 + 1 + 1 + 1, ou seja blocos J2(3),J1(3),J1(3),J1(3).

Passo 3

Particionando a soma 3 (aut. valor 5) em blocos de tamanho <=2 e com pelo menos um bloco de tamanho 2:
  • única opção: 3 = 2 + 1, ou seja blocos J2(5),J1(5).

Passo 4

Cada combinação acima para o autovalor 3 se junta com a única para 5. Assim obtemos exatamente duas formas canônicas de Jordan, até permutar blocos.

Resposta

Forma 1:
diagl(J2(3),,J2(3),,J1(3),,J2(5),,J1(5)r)
Forma 2:
diagl(J2(3),,J1(3),,J1(3),,J1(3),,J2(5),,J1(5)r)

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