A menos de ordenamento dos blocos, determine todas as possíveis formas canônicas de Jordan para uma matriz complexa cujo polinômio característico é p(t)=(t+3)^5(t+2)^k, cujo polinômio mínimo é m(t)=(t+3)^2(t+2)^2 e a matriz A possui ordem 7

Passo 1

O enunciado pede todas as formas canônicas de Jordan de uma matriz AinC^7times7 cujo polinômio característico é
p(t)=(t+3)^5(t+2)^k,
o polinômio mínimo é
m(t)=(t+3)^2(t+2)^2
e dim A=7. O conteúdo aqui é a classificação de formas de Jordan em função das multiplicidades algébrica e das expoentes no polinômio mínimo.

Passo 2

Como deg p=7, temos 5+k=7, logo
k=2
e
p(t)=(t+3)^5(t+2)^2
Do polinômio mínimo vemos que o maior bloco de Jordan para o valor próprio -3 tem tamanho 2, e o mesmo para -2.

Passo 3

Para lambda=-3:
  • a multiplicidade algébrica é 5,
  • o expoente em m(t) é 2,
    logo o maior bloco de Jordan em -3 tem tamanho 2, e todos os blocos têm tamanho <=2.
    Precisamos particionar 5 usando apenas 1 e 2, com pelo menos um 2.
    As únicas partições são
2+2+1 e 2+1+1+1

Passo 4

Para lambda=-2:
  • a multiplicidade algébrica é 2,
  • o expoente em m(t) é 2,
    logo há um único bloco de tamanho 2 (não pode ser 1+1 porque aí o expoente seria 1).

Passo 5

Juntando ambos os valores próprios, as possíveis formas canônicas de Jordan são obtidas colocando em diagonal os blocos obtidos nos passos anteriores.

Resposta

As duas formas canônicas de Jordan de A são, até permutação de blocos, as matrizes de bloco-diagonal:
  1. Para a partição 5=2+2+1 em -3
J=diagl(J2(-3),,J2(-3),,J1(-3),,J2(-2)r)
  1. Para a partição 5=2+1+1+1 em -3
J=diagl(J2(-3),,J1(-3),,J1(-3),,J1(-3),,J2(-2)r)

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