A menos de ordenamento dos blocos, determine todas as possíveis formas canônicas de Jordan para uma matriz complexa cujo polinômio característico é p(t)=(t+3)^k(t+2)^3, cujo polinômio mínimo é m(t)=(t+3)^2(t+2)^2 e a matriz A possui ordem 7

Passo 1

O enunciado dá um polinômio característico
p(t)=(t+3)^k(t+2)^3
e um polinômio mínimo
m(t)=(t+3)^2(t+2)^2
para uma matriz A de ordem 7. O objetivo é encontrar todas as formas canônicas de Jordan de A. Para isso precisamos usar a relação entre as multiplicidades algébrica e as expoentes no polinômio mínimo, que indicam o tamanho máximo dos blocos de Jordan para cada autovalor.

Passo 2

Como deg p=7 e já temos fator (t+2)^3, segue que k=7-3=4. Logo o autovalor -3 tem multiplicidade algébrica 4 e o autovalor -2 tem multiplicidade algébrica 3. Do polinômio mínimo vemos que o maior bloco de Jordan para cada autovalor tem tamanho igual ao grau de cada fator: para -3, bloco de tamanho <=2 com pelo menos um bloco de tamanho 2; para -2, bloco de tamanho <=2 com pelo menos um bloco de tamanho 2.

Passo 3

Para lambda=-3, precisamos particionar 4 em somas de inteiros <=2 com pelo menos uma parte igual a 2. As opções são:
4 = 2+2 ou 4 = 2+1+1

Passo 4

Para lambda=-2, particionamos 3 em inteiros <=2 com pelo menos um 2. A única opção é
3 = 2+1

Passo 5

Agora combinamos as escolhas para -3 com a única escolha para -2. Obtêm-se duas formas canônicas de Jordan (ignorado o ordenamento dos blocos):
  1. Quando em -3 temos blocos 2+2:
J = diagl(J2(-3),,J2(-3),,J2(-2),,J1(-2)r)
  1. Quando em -3 temos blocos 2+1+1:
J = diagl(J2(-3),,J1(-3),,J1(-3),,J2(-2),,J1(-2)r)

Resposta

As duas formas canônicas de Jordan de A, a menos da ordem dos blocos, são
diagl(J2(-3),,J2(-3),,J2(-2),,J1(-2)r) e diagl(J2(-3),,J1(-3),,J1(-3),,J2(-2),,J1(-2)r)

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