A menos de ordenamento dos blocos, determine todas as possíveis formas canônicas de Jordan para uma matriz complexa cujo polinômio característico é
, cujo polinômio mínimo é
e a matriz A possui ordem 7
Passo 1
O enunciado dá um polinômio característico
e um polinômio mínimo
para uma matriz
de ordem
. O objetivo é encontrar todas as formas canônicas de Jordan de
. Para isso precisamos usar a relação entre as multiplicidades algébrica e as expoentes no polinômio mínimo, que indicam o tamanho máximo dos blocos de Jordan para cada autovalor.
Passo 2
Como
e já temos fator
, segue que
. Logo o autovalor
tem multiplicidade algébrica
e o autovalor
tem multiplicidade algébrica
. Do polinômio mínimo vemos que o maior bloco de Jordan para cada autovalor tem tamanho igual ao grau de cada fator: para
, bloco de tamanho
com pelo menos um bloco de tamanho
; para
, bloco de tamanho
com pelo menos um bloco de tamanho
.
Passo 3
Para
, precisamos particionar
em somas de inteiros
com pelo menos uma parte igual a
. As opções são:
Passo 4
Para
, particionamos
em inteiros
com pelo menos um
. A única opção é
Passo 5
Agora combinamos as escolhas para
com a única escolha para
. Obtêm-se duas formas canônicas de Jordan (ignorado o ordenamento dos blocos):
- Quando em
temos blocos :
- Quando em
temos blocos :
Resposta
As duas formas canônicas de Jordan de
, a menos da ordem dos blocos, são