Mensagens chegam a uma central de mensagens eletrônicas em horários aleatórios, com uma média de 9 mensagens por hora.
a) Qual é a probabilidade de receber exatamente cinco mensagens durante a próxima hora?
(b) Qual é a probabilidade de receber pelo menos cinco mensagens durante a próxima hora?
(c) Qual é a probabilidade de receber exatamente cinco mensagens durante a próximas 1,5 horas?

Passo 1

O enunciado dá a informação de que mensagens chegam com média de \,9 mensagens por hora. As perguntas são:
  • (a) Qual é a probabilidade de receber exatamente \,5 mensagens durante a próxima hora?
  • (b) Qual é a probabilidade de receber pelo menos \,5 mensagens durante a próxima hora?
  • (c) Qual é a probabilidade de receber exatamente \,5 mensagens durante as próximas \,1,5 horas?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Taxa média por hora: \lambda_{\text{hora}}=9.
  • Para intervalos de tempo diferentes de uma hora, a média escala proporcionalmente ao tempo (por exemplo, para t horas a média é \lambda=9t).
  • Pedidos: probabilidades do número de eventos (mensagens) em um intervalo de tempo fixo.

Passo 2

Modelo probabilístico e fórmula que vamos usar (aulas rápidas e diretas).
  • Quando eventos independentes ocorrem aleatoriamente no tempo com taxa média constante, o número de eventos em um intervalo fixo segue a distribuição de Poisson.
  • A fórmula da Poisson: a probabilidade de exatamente k eventos num intervalo com parâmetro médio \lambda é
P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!}.
Explicando cada símbolo:
  • X é a variável aleatória “número de mensagens no intervalo considerado”.
  • k é o número inteiro que queremos (por exemplo k=5).
  • \lambda é a média do número de mensagens no intervalo (por exemplo \lambda=9 para uma hora).
  • e é a base dos logaritmos naturais (aprox. 2{,}71828).
  • k! é o fatorial de k (por exemplo 5! = 5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=120).
Dica prática: para "pelo menos 5" usamos a complementar:
P(X\ge5)=1-P(X\le4)=1-\sum_{k=0}^{4} P(X=k).

Passo 3

(a) Probabilidade de exatamente \,5 mensagens na próxima hora.
  • Aqui \lambda=9 (uma hora).
  • Aplicando a fórmula da Poisson com k=5:
P(X=5)=e^{-9}\frac{9^{5}}{5!}.
  • Calculemos passo a passo:
    • 9^{5}=59\,049.
    • 5!=120.
    • \dfrac{9^{5}}{5!}=\dfrac{59\,049}{120}=492{,}075.
    • Logo
    P(X=5)=e^{-9}\cdot 492{,}075.
  • Usando e^{-9}\approx 0{,}00012340980408668, obtemos
P(X=5)\approx 0{,}00012340980408668\times 492{,}075 \approx 0{,}06070.
(ou seja aproximadamente 6{,}07\%.)

Passo 4

(b) Probabilidade de receber pelo menos \,5 mensagens na próxima hora.
  • Novamente \lambda=9.
  • Usamos a complementar:
P(X\ge5)=1-P(X\le4)=1-\sum_{k=0}^{4} e^{-9}\frac{9^{k}}{k!}.
  • Calculamos cada termo em função de e^{-9} (para facilitar, fatoramos e^{-9}):
    • P(X=0)=e^{-9}.
    • P(X=1)=e^{-9}\cdot 9.
    • P(X=2)=e^{-9}\cdot \dfrac{9^{2}}{2} = e^{-9}\cdot 40{,}5.
    • P(X=3)=e^{-9}\cdot \dfrac{9^{3}}{6} = e^{-9}\cdot 121{,}5.
    • P(X=4)=e^{-9}\cdot \dfrac{9^{4}}{24} = e^{-9}\cdot 273{,}375.
  • Somando os coeficientes: 1 + 9 + 40{,}5 + 121{,}5 + 273{,}375 = 445{,}375.
  • Portanto
P(X\le4)=e^{-9}\cdot 445{,}375.
  • Com e^{-9}\approx 0{,}00012340980408668,
P(X\le4)\approx 0{,}00012340980408668\times 445{,}375 \approx 0{,}0549636.
  • Logo
P(X\ge5)=1-0{,}0549636 \approx 0{,}94504.
(aproximadamente 94{,}50\%.)

Passo 5

(c) Probabilidade de exatamente \,5 mensagens nas próximas \,1{,}5 horas.
  • Agora o intervalo tem duração t=1{,}5 horas, então a média escala: \lambda = 9\cdot 1{,}5 = 13{,}5.
  • Aplicando a Poisson com k=5:
P(X=5)=e^{-13{,}5}\frac{13{,}5^{5}}{5!}.
  • Calculemos passo a passo:
    • 13{,}5^{2}=182{,}25.
    • 13{,}5^{3}=2\,460{,}375.
    • 13{,}5^{4}=33\,215{,}0625.
    • 13{,}5^{5}=448\,403{,}34375 (ou seja 448\,403{,}34375).
    • 5!=120.
    • \dfrac{13{,}5^{5}}{5!}=\dfrac{448\,403{,}34375}{120}=3\,736{,}69453125.
    • e^{-13{,}5}\approx 1{,}370959086493125\times 10^{-6}.
  • Multiplicando:
P(X=5)\approx 1{,}370959086493125\times 10^{-6}\times 3\,736{,}69453125 \approx 0{,}0051229.
(aproximadamente 0{,}512\%.)

Passo 6

Dicas rápidas para a prova (resumão amigo):
  • Identifique a média por intervalo ( \lambda). Para intervalos múltiplos de uma hora, multiplique a taxa horária pelo tempo.
  • Use a fórmula da Poisson para "exatamente k". Para "pelo menos k", calcule a complementar 1- soma dos P(X=0 até k-1).
  • Para cálculos manuais, é útil fatorar e^{-\lambda} e trabalhar com coeficientes (como fizemos em (b)).
  • Se puder usar calculadora/computador, confirme os expoentes e fatorial para evitar erros de aritmética rápida.

Resposta

(a) P(X=5\\ \text{em 1 hora})\approx 0,06070
(b) P(X\ge5\\ \text{em 1 hora})\approx 0,94504
(c) P(X=5\\ \text{em 1,5 horas})\approx 0,0051229

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