Mensagens chegam a uma central de mensagens eletrônicas em horários aleatórios, com uma média de 9 mensagens por hora.
a) Qual é a probabilidade de receber exatamente cinco mensagens durante a próxima hora?
(b) Qual é a probabilidade de receber pelo menos cinco mensagens durante a próxima hora?
(c) Qual é a probabilidade de receber exatamente cinco mensagens durante a próximas 1,5 horas?
a) Qual é a probabilidade de receber exatamente cinco mensagens durante a próxima hora?
(b) Qual é a probabilidade de receber pelo menos cinco mensagens durante a próxima hora?
(c) Qual é a probabilidade de receber exatamente cinco mensagens durante a próximas 1,5 horas?
Passo 1
O enunciado dá a informação de que mensagens chegam com média de
mensagens por hora. As perguntas são:
- (a) Qual é a probabilidade de receber exatamente
mensagens durante a próxima hora? - (b) Qual é a probabilidade de receber pelo menos
mensagens durante a próxima hora? - (c) Qual é a probabilidade de receber exatamente
mensagens durante as próximas horas?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Taxa média por hora:
. - Para intervalos de tempo diferentes de uma hora, a média escala proporcionalmente ao tempo (por exemplo, para
horas a média é ). - Pedidos: probabilidades do número de eventos (mensagens) em um intervalo de tempo fixo.
Passo 2
Modelo probabilístico e fórmula que vamos usar (aulas rápidas e diretas).
- Quando eventos independentes ocorrem aleatoriamente no tempo com taxa média constante, o número de eventos em um intervalo fixo segue a distribuição de Poisson.
- A fórmula da Poisson: a probabilidade de exatamente
eventos num intervalo com parâmetro médio é
Explicando cada símbolo:
-
é a variável aleatória “número de mensagens no intervalo considerado”. -
é o número inteiro que queremos (por exemplo ). -
é a média do número de mensagens no intervalo (por exemplo para uma hora). -
é a base dos logaritmos naturais (aprox. ). -
é o fatorial de (por exemplo ).
Dica prática: para "pelo menos
" usamos a complementar:
Passo 3
(a) Probabilidade de exatamente
mensagens na próxima hora.
- Aqui
(uma hora). - Aplicando a fórmula da Poisson com
:
- Calculemos passo a passo:
-
. -
. -
. - Logo
-
- Usando
, obtemos
(ou seja aproximadamente
.)
Passo 4
(b) Probabilidade de receber pelo menos
mensagens na próxima hora.
- Novamente
. - Usamos a complementar:
- Calculamos cada termo em função de
(para facilitar, fatoramos ): -
. -
. -
. -
. -
.
-
- Somando os coeficientes:
. - Portanto
- Com
,
- Logo
(aproximadamente
.)
Passo 5
(c) Probabilidade de exatamente
mensagens nas próximas
horas.
- Agora o intervalo tem duração
horas, então a média escala: . - Aplicando a Poisson com
:
- Calculemos passo a passo:
-
. -
. -
. -
(ou seja ). -
. -
. -
.
-
- Multiplicando:
(aproximadamente
.)
Passo 6
Dicas rápidas para a prova (resumão amigo):
- Identifique a média por intervalo (
). Para intervalos múltiplos de uma hora, multiplique a taxa horária pelo tempo. - Use a fórmula da Poisson para "exatamente
". Para "pelo menos ", calcule a complementar soma dos até . - Para cálculos manuais, é útil fatorar
e trabalhar com coeficientes (como fizemos em (b)). - Se puder usar calculadora/computador, confirme os expoentes e fatorial para evitar erros de aritmética rápida.
Resposta
(a)
(b)
(c)